1999　横浜国立大学　後期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$x\text{，}y\text{，}z$を実数とするとき，

$|x-y|$と$|\sqrt{x^2+z^2}-\sqrt{y^2+z^2}|$

の大小を比較せよ．

(2)　$x>z>y$を満たす実数の組$(x,y,z)$で

$|x-y|=|\sqrt{x^2+z^2}-\sqrt{y^2+z^2}|$

となるものは存在するか．理由を述べて答えよ．

【２】　$a$を$-1\leqq a\leqq 1$を満たす定数とする．$xy$平面上の$2$曲線

$y=x^2$と$y=x+a(|x-a|+a-1)$

によって囲まれる部分の面積を$S$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$S$を$a$の式で表せ．

(2)　$a$が$-1\leqq a\leqq 1$の範囲を動くとき，$S$の最大値，最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

【３】　$a\text{，}b$を実数の定数とする$x$の方程式

$x^4+(a+b)(x+1)x^2+(ax+b)(bx+a)=0$

がある．方程式の異なる実数解の個数を$n$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$n\leqq 1$であるときの点$(a,b)$の範囲を図示せよ．

(2)　$n=3$であるときの点$(a,b)$の範囲を図示せよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　複素数$a\text{，}b$が，$ab=1$かつ$a^2+b^2=1$を満たすとき，$a^{1999}+b^{1999}$の値を求めよ．

(2)　複素数$c$が，$c^3=1$を満たすとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^{1999}}{\displaystyle \frac{c^k}{c^{2k}+1}}$の値を求めよ．

【１】　$a\text{，}b$を実数とする$x$の方程式

$x^4+(a+b)(x+1)x^2+(ax+b)(bx+a)=0$

の異なる実数解の個数を$n$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$n\leqq 1$であるときの点$(a,b)$の範囲を図示せよ．

(2)　(1)で図示した範囲の面積を求めよ．

(3)　$n=3$であるときの点$(a,b)$の範囲を図示せよ．

【２】　$2$以上の自然数$n$に対して，不等式

${\displaystyle \frac{2^{2n-1}}{\sqrt{n}}}<{\displaystyle \frac{(2n)!}{{(n!)}^2}}<2^{2n-1}$

が成り立つことを証明せよ．

【３】　$2$つの曲線$C_1:y={\displaystyle \frac{\log x}{x^2}}$と$C_2:y=a\log x\text{（}0<a<1\text{）}$がある．次の問いに答えよ．ただし，必要があれば$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}=0$であることを用いてよい．

(1)　$C_1$のグラフを描け．

(2)　$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を$S(a)$とする．$S(a)$を$a$の式で表せ．

(3)　$\underset{a\to +0}{\lim }S(a)$を求めよ．

【４】　複素数$z$と$w$の間には

$w={\displaystyle \frac{z-\beta }{z-\alpha }}$

の関係がある．複素数平面上において，$z$が実軸上を動くとき$w$は原点を中心とする半径$1$の円の周上を動く． ただし，$\alpha \text{，}\beta$は$\alpha \ne \bar{\alpha }\text{，}|\alpha |\ne 1$かつ$\alpha \ne \beta$を満たす複素数とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\beta$を$\alpha$の式で表せ．

(2)　$z$が原点を中心とする半径$1$の円の周上を動くときには，$w$はある円の周上を動く．その円の半径を$r(\alpha )$とする．$r(\alpha )$を$\alpha$の式で表せ．

(3)　$\alpha +\bar{\alpha }=4$のとき，$r(\alpha )$の最大値を求めよ．

【５】　$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上の曲線$C:y=\sqrt{ax}$上の点$\mathrm{P}$と$x$軸上の点$\mathrm{Q}(t,0)\text{（}t>0\text{）}$を$\mathrm{PQ}=1$となるようにとる．ただし，$a$は正の定数である．次の問いに答えよ．

(1)　$t$の最大値を求めよ．

(2)　$\theta =\angle \mathrm{OQP}$とするとき，$\cos \theta$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　$a={\displaystyle \frac{8}{3}}$とする．曲線$C\text{，}$線分$\mathrm{PQ}$および$x$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転してできる回転体の体積の最大値とそのときの$\cos \theta$の値を求めよ．