1999　新潟大学　前期MathJax

【１】　空間内に，平行四辺形$\mathrm{ABCD}$と点$\mathrm{P}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\overrightarrow{c}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{BP}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{CP}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{DP}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$で表せ．

(2)　次の等式が成り立つことを示せ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$の内積を表す．

${\mathrm{AP}}^2+{\mathrm{CP}}^2={\mathrm{BP}}^2+{\mathrm{DP}}^2+2\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$

【２】　座標平面上で，$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{P}(x,y)\text{，}\mathrm{Q}(x,-y)$を，原点を中心とする半径$1$の円上の$3$点とする．ただし，$y>0$とする．$▵\mathrm{APQ}$の重心を$\mathrm{G}$とし，

$d={\mathrm{AG}}^2+{\mathrm{PG}}^2+{\mathrm{QG}}^2$

とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　重心$\mathrm{G}$の座標を求めよ．

(2)　$d$を$x$で表せ．

(3)　$d$が最大となるときの$x$の値を求めよ．また，そのとき$▵\mathrm{APQ}$はどのような三角形か．

【３】　$f(x)=x^4+x^3+p{x}^2+(p-1)x-a^2$とする．ただし$a>0$であり，$f(a)=0$が成り立つとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$p=1-a^2$であることを示せ．

(2)　方程式$f(x)=0$を解け．

(3)　$a=1$のとき，方程式$f(x)=0$の$4$つの解は，複素数平面上で同一円周上にあることを示せ．

【４】　$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$とする．直線$y=mx$は，曲線$y=f(x)$と点$(1,f(1))$で接し，点$(-1,f(-1))$で交わっている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a=-1\text{，}b=m-1\text{，}c=1$であることを示せ．

(2)　直線$y=mx+k$が，曲線$y=f(x)$と異なる$3$点で交わるような，定数$k$の値の範囲を求めよ．

(3)　関数$f(x)$が$x=0$で極大値をとるように，定数$m$の値を定めよ．

【２】　$0$でない複素数$z$に対して，$w=z+{\displaystyle \frac{2}{z}}$とおく．$z$の極形式を$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$とし，$w$の実部を$x\text{，}$虚部を$y$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x\text{，}y$をそれぞれ$r$と$\theta$で表せ．

(2)　複素数平面上で，$z$が原点を中心とする半径$1$の円上を動くとき，点$w$が描く図形を図示せよ．

(3)　複素数平面上で，$z$が${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}i$と$\sqrt{3}+i$を結ぶ線分上を動くとき，点$w$が描く図形を図示せよ．

【３】　関数$f(x)=x^2\log x\text{（}x>0\text{）}$とする．ここで，対数は自然対数である．$e$を自然対数の底として，次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の最小値を求めよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_1^e}f(x)dx$を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$上の点$(1,f(1))$における接線を$l$とする．このとき，$y=f(x)$と$l$には接点以外に共有点がないことを示せ．

【４】　媒介変数$t$を用いて

$x=1-\cos t\text{，}y=1+t\sin t+\cos t\text{（}0\leqq t\leqq \pi \text{）}$

と表される座標平面上の曲線を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$y$の最大値と最小値を求めよ．

(2)　曲線$C\text{，}x$軸および$y$軸で囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

【５】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$について，次の問いに答えよ．ただし，$O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$である．

(1)　$A^2=O$のとき，$A$は逆行列をもたないことを示せ．

(2)　$A^2=O$のとき，$E+A$は$E-A$の逆行列であることを示せ．

(3)　$A^3=O$のとき，$E+A$は$E-A$の逆行列であることを示せ．

【６】　数列$\left\{a_n\right\}$を$a_n={\displaystyle {\int }_0^1}{x}^n{e}^{x}dx\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定める．ここで，$e$は自然対数の底である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_{n+1}$と$a_n$の関係式を求めよ．

(2)　自然数$n$に対して，$a_n=b_{n}e+c_n$となる整数$b_n\text{，}{c}_n$があることを，数学的帰納法を用いて証明せよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{b_n}{c_n}}=-{\displaystyle \frac{1}{e}}$を示せ．