1999 信州大学 前期 教育・繊維学部

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1999 信州大学 前期 教育学部

易□ 並□ 難□

【1】  xyz 空間内に P (t ,0,0 ) を通ってベクトル d =( 0,1, 3) に平行な直線 l x y 平面上の円 C :x2 +y2 =a2 z=0 a >0 がある.直線 l 上に点 Q C 上に点 R (a cosθ ,asin θ,0 ) をとるとき,次の問に答えよ.

(1)  2 Q R 間の距離 QR を表す式を求めよ.

(2)  Q l 上を動き, R C 上を動くとき QR の最小値を求めよ.

1999 信州大学 前期 教育学部

易□ 並□ 難□

1999年信州大前期教育学部【2】の図

【2】 右図のように,複素数平面上に四角形 ABCD があり, 4 A B C D を表す複素数をそれぞれ z1 z 2 z 3 z4 とする.各辺を 1 辺とする 4 つの正方形 BAPQ CBRS DCTU ADVW を四角形 ABCD の外側に作り,正方形 BAPQ CBRS DCTU ADVW の中心をそれぞれ K L M N とおく.

(1) 点 K を表す複素数 w 1 z 1 z 2 で表せ.

(2)  KM=LN KM LN を証明せよ.

(3) 線分 KM と線分 LN の中点が一致するのは四角形 ABCD がどのような図形のときか.



1999 信州大学 前期 教育学部

易□ 並□ 難□

1999年信州大前期教育学部【3】の図

【3】  xy 平面上に 2 A (1 ,0) P (0 ,t) と原点 O を中心とする半径 1 の円を考える.第 1 象限内の円周上に点 B をとり BOA =θ とおく.右図のように, AB 上に AB n 等分する n -1 個の点 B1 B 2 B n-1 をとるとき,次の問いに答えよ.

(1)  M=lim n 1n k=1n -1 PB k2 t θ で表せ.

(2)  P y 軸上を動くときの M の最小値を θ で表し,そのときの P の座標を求めよ.

(3) (2)のとき lim θ 0 OPAB を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【4】 行列 A= ( 12 4-1 ) P= (1 ab 2 ) に対して,次の問に答えよ.ただし, 2-a b0 とする.

(1)  P-1 A P=( λ0 0 -λ ) を満たす正の数 λ と行列 P を求めよ.

(2)  An を求めよ.ただし, n は正の整数とする.

(3) 正の整数 k に対して A k=( a kb k ck dk ) とおくとき, k= 1n ( ak dk- bk ck ) を求めよ.

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