Mathematics
Examination
Test
Archives
METAトップへ
年度一覧へ
1999年度一覧へ
大学別一覧へ
信州大一覧へ
1999-10421-0101
1999 信州大学 前期 教育学部
易□ 並□ 難□
【1】 xyz 空間内に P (t ,0,0 ) を通ってベクトル d →=( 0,1, 3) に平行な直線 l と x y 平面上の円 C :x2 +y2 =a2 , z=0 (a >0 ) がある.直線 l 上に点 Q , 円 C 上に点 R (a ⁢cos⁡θ ,a⁢sin⁡ θ,0 ) をとるとき,次の問に答えよ.
(1) 2 点 Q , R 間の距離 QR を表す式を求めよ.
(2) Q が l 上を動き, R が C 上を動くとき QR の最小値を求めよ.
1999-10421-0102
【2】 右図のように,複素数平面上に四角形 ABCD があり, 4 点 A , B ,C , D を表す複素数をそれぞれ z1 ,z 2 ,z 3 ,z4 とする.各辺を 1 辺とする 4 つの正方形 BAPQ , CBRS ,DCTU , ADVW を四角形 ABCD の外側に作り,正方形 BAPQ , CBRS ,DCTU , ADVW の中心をそれぞれ K , L , M , N とおく.
(1) 点 K を表す複素数 w 1 を z 1 と z 2 で表せ.
(2) KM=LN ,KM⊥ LN を証明せよ.
(3) 線分 KM と線分 LN の中点が一致するのは四角形 ABCD がどのような図形のときか.
1999-10421-0103
【3】 xy 平面上に 2 点 A (1 ,0) ,P (0 ,t) と原点 O を中心とする半径 1 の円を考える.第 1 象限内の円周上に点 B をとり ∠BOA =θ とおく.右図のように, AB⏜ 上に AB ⏜ を n 等分する n -1 個の点 B1 , B 2 ,⋯ ,B n-1 をとるとき,次の問いに答えよ.
(1) M=lim n→∞ ⁡ 1n ⁢ ∑ k=1n -1⁡ PB k2 を t と θ で表せ.
(2) P が y 軸上を動くときの M の最小値を θ で表し,そのときの P の座標を求めよ.
(3) (2)のとき lim θ→ 0⁡ OPAB を求めよ.
1999-10421-0104
【4】 行列 A= ( 12 4-1 ) と P= (1 ab 2 ) に対して,次の問に答えよ.ただし, 2-a⁢ b≠0 とする.
(1) P-1 ⁢A⁢ P=( λ0 0 -λ ) を満たす正の数 λ と行列 P を求めよ.
(2) An を求めよ.ただし, n は正の整数とする.
(3) 正の整数 k に対して A k=( a kb k ck dk ) とおくとき, ∑k= 1n ⁡( ak⁢ dk- bk⁢ ck ) を求めよ.