1999　信州大学　前期　経済，理学部MathJax

【１】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$3$つのベクトルを$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(2,0,1)\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(1,-1,2)\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=(2,1,1)$とする．点$\mathrm{P}$が$▵\mathrm{ABC}$の周およびその内部を動くとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の大きさの最小値を求めよ．またそのときのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を求めよ．

【２】　$n$を自然数とする．$k=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots$について，$2$次曲線$y=x^2+{\displaystyle \frac{3k}{n}}x+{\displaystyle \frac{5k^2}{2n^2}}+1$の頂点の座標を$(a_k,b_k)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　次の連立不等式

$\{\begin{array}{l}y\geqq -x-1\\ y\leqq -x+1\end{array}$

の表す領域を$D$とするとき，点$(a_k,b_k)$が$D$に含まれる$k$をすべて求めよ．

(2)　(1)で求めた$k$に関する$b_k$の総和を求めよ．

【３】　曲線$C:y=x^3+ax$上に次の条件(ⅰ)，(ⅱ)を満たす相異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$がとれるとする．このとき，定数$a$の値の範囲を求めよ．

(ⅰ)　$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を通る直線$l$は点$\mathrm{P}$で曲線$C$に接している．

(ⅱ)　点$\mathrm{Q}$における曲線$C$の接線と直線$l$は直交している．

【４】　$m\text{，}n$を自然数とする．定積分

$I_{m,n}={\displaystyle {\int }_1^2}{(x-1)}^{m-1}{(x-2)}^{n-1}dx$

に対して，次の問いに答えよ．

(1)　$I_{m,1}$を求めよ．

(2)　$n\geqq 2$のとき，$I_{m,n}$と$I_{m+1,n-1}$についての関係式を求めよ．

(3)　$I_{m,n}$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$a_i\text{，}{b}_i\text{（}i=1\text{，}2\text{，}3\text{）}$を実数とするとき，次の不等式を証明せよ．

$({a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2)({b_1}^2+{b_2}^2+{b_3}^2)\geqq {(a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3)}^2$

(2)　実数$x_i\text{，}{y}_i\text{，}{z}_i\text{（}=1\text{，}2\text{）}$が

${x_1}^2+{y_1}^2-{z_1}^2+1=0\text{，}{x_2}^2+{y_2}^2-{z_2}^2+1=0\text{，}{z}_1{z}_2\geqq 0$

を満たしているとする．このとき不等式

$x_1{x}_2+y_1{y}_2-z_1{z}_2+1\leqq 0$

が成り立つことを証明せよ．また等号が成立するのは

$x_1=x_2\text{，}{y}_1=y_2\text{，}{z}_1=z_2$

のときに限ることを示せ．

【６】　曲線$C:y=2\sqrt{x}-x$について，次の問いに答えよ．

(1)　曲線$C$のグラフをかけ．

(2)　曲線$C$上の点$(a,2\sqrt{a}-a)$における接線と$2$次曲線$y=x^2+1$の共有点の個数を求めよ．ただし$a$は正の定数とする．