1999　信州大学　前期　工学部MathJax

【１】　座標の原点を$\mathrm{O}\text{，}$点$\mathrm{A}$の座標を$(1,0)$とする．第$1$象限内に点$\mathrm{P}\text{，}y$軸上に点$\mathrm{Q}$を，$\angle \mathrm{PAO}=\angle \mathrm{QPO}=90\mathrm{°}$となるようにとる．線分$\mathrm{OQ}$の長さが最小になるときの$\angle \mathrm{POA}$の大きさを求めよ．

【２】　さいころを$100$回ふるとき，$1$の目がちょうど$k$回出る確率を$p_k$とする．

(1)　比${\displaystyle \frac{p_k}{p_{k-1}}}$の値を$k$の式で表せ．ただし$1\leqq k\leqq 100$とする．

(2)　$p_k$が最大となる$k$の値を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$において，初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和を$S_n$とする．この数列$\{a_n\}$を

$a_1=3\text{，}{(n+2)}^2{a}_n=S_n\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

で定義する．

(1)　$a_n$と$a_{n-1}$の間の関係を求めよ（$n=3\text{，}4\text{，}5\text{，}\cdots$）．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

【４】　$f(x)$が$0\leqq x\leqq 1$で連続な関数であるとき

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}xf(\sin x)dx={\displaystyle \frac{\pi }{2}}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f(\sin x)dx$

が成立することを示し，これを用いて定積分

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\displaystyle \frac{x\sin x}{3+{\sin }^{2}x}}dx$

を求めよ．