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1999-10421-0501
1999 信州大学 後期 理学部数学III,C
易□ 並□ 難□
【1】 点 A (1 ,0) ,B (- 1,0 ) および曲線
C1: x2+ y2= 1 ,C2 :x2 + y2 a2 =1 ( 0<a< 1)
を考える. C1 上の点 P (x ,y) を原点の回りを正の向きに π2 回転移動した点を Q とする. P ,Q から x 軸におろした垂線と C 2 との交点をそれぞれ P′ , Q ′ とする. P が 0 <x<1 , 0<y <1 の範囲を動くとするとき,四角形 A P′ Q′ B の面積が最大となる P とそのときの面積を求めよ.またこのときの Q ′ を求めよ.
1999-10421-0502
【2】 次の関係をみたす関数 f⁡ (x ) を求めよ.
f⁡( x)= x+(2 - π24 +3 ⁢ ∫0π 6⁡ f⁡( 3⁢t) 2⁢cos ⁡3⁢t ⁢dt )⁢ sin⁡x
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【3】 x1= a ,xn +1= 2⁢x n+3 ( n= 1 ,2 ,⋯ ) で定義される数列 { xn} について次の問いに答えよ.ただし a は - 32≦ a<3 をみたす定数とする.
(1) a≦xn <3 (n =1 ,2 ,⋯ ) を示せ.
(2) 0<3- xn+ 1≦ 2 ⁢(3 -xn )3 +2⁢a +3 ( n= 1 ,2 ,⋯ ) を示し, limn→ ∞⁡ xn を求めよ.