1999　信州大学　後期　理学部数学III,CMathJax

1999-10421-0501

1999　信州大学　後期　理学部数学III,C

易□　並□　難□

【１】　点 $A (1, 0) ， B (- 1, 0)$ および曲線

$C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1 ， C_{2} : x^{2} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1 （ 0 < a < 1 ）$

を考える． $C_{1}$ 上の点 $P (x, y)$ を原点の回りを正の向きに $\frac{π}{2}$ 回転移動した点を $Q$ とする． $P ， Q$ から $x$ 軸におろした垂線と $C_{2}$ との交点をそれぞれ $P^{'} ， Q^{'}$ とする． $P$ が $0 < x < 1 ， 0 < y < 1$ の範囲を動くとするとき，四角形 $A P^{'} Q^{'} B$ の面積が最大となる $P$ とそのときの面積を求めよ．またこのときの $Q^{'}$ を求めよ．

1999-10421-0502

1999　信州大学　後期　理学部数学III,C

易□　並□　難□

【２】　次の関係をみたす関数 $f (x)$ を求めよ．

$f (x) = x + (2 - \frac{π^{2}}{4} + 3 \int_{0}^{\frac{π}{6}} {f (3 t)}^{2} \cos 3 t d t) \sin x$

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易□　並□　難□

【３】　 $x_{1} = a ， x_{n + 1} = \sqrt{2 x_{n} + 3} （ n = 1 ， 2 ， \dots ）$ で定義される数列 ${x_{n}}$ について次の問いに答えよ．ただし $a$ は $- \frac{3}{2} ≦ a < 3$ をみたす定数とする．

(1)　 $a ≦ x_{n} < 3 （ n = 1 ， 2 ， \dots ）$ を示せ．

(2)　 $0 < 3 - x_{n + 1} ≦ \frac{2 (3 - x_{n})}{3 + \sqrt{2 a + 3}} （ n = 1 ， 2 ， \dots ）$ を示し， $\lim_{n \to \infty} x_{n}$ を求めよ．

1999 信州大学 後期 理学部数学III,CMathJax

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