1999　信州大学　後期　繊維学部MathJax

1999-10421-0601

1999　信州大学　後期　繊維学部

易□　並□　難□

【１】　 $0 ° ≦ x < 360 °$ のとき，次の不等式を解け．

$\sin 3 x ≧ \sin x$

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易□　並□　難□

【２】　ある会社が資産 $1$ 億円で設立され，毎年 $5 %$ の資産の増加を見込んでいるという．この会社の資産が $2$ 億円を超えるのは少なくとも何年後の予定か．ただし， $\log_{10} 2 = 0.3010 ， \log_{10} 3 = 0.4771 ， \log_{10} 7 = 0.8451$ とする．

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易□　並□　難□

【３】　 $- 1 ≦ x ≦ 1$ なる $x$ に対して， $\sin y = x$ をみたす $- \frac{π}{2} ≦ y ≦ \frac{π}{2}$ なる区間の $y$ を対応させる関数を $y = f (x)$ とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　 $f (x)$ の導関数 $f^{'} (x)$ を $x$ の式で表せ．

(2)　 $\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} f (x) d x$ の値を求めよ．

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易□　並□　難□

【４】　 $n$ が自然数のとき，関数 $f_{n} (x) = x {(\log x)}^{n}$ に対して， $F_{n} (x) = \int f_{n} (x) d x$ とおく． $\lim_{x \to + 0} f_{n} (x) = 0$ なることを知って次の問いに答えよ．

(1)　 $F_{n} (x)$ を $F_{n - 1} (x)$ の式で表し，さらに $F_{1} (x) ， F_{2} (x)$ および $F_{3} (x)$ を求めよ．ただし， $F_{n} (x)$ の定数項はすべて $0$ とする．

(2)　 $0 < x < 1$ の区間で $f_{n} (x)$ の極値を与える $x$ の値を $a_{n}$ とするとき， $a_{n} ， S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ および $\lim_{n \to \infty} S_{n}$ を求めよ．

1999 信州大学 後期 繊維学部MathJax

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