1999　信州大学　前期　繊維学部MathJax

【１】　関数$f(x)=\tan ({\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$について次の問いに答えよ．

問１　$f(x)$のグラフをかき，その周期を示せ．

問２　$x=0$を含む$1$周期内における$f(x)$の変曲点と，その点における微分係数を求めよ．

問３　$|x|$が十分小さいとき，$f(x)$の近似式を求めよ．

問４　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{5}{6}\pi }}f(x)dx$を求めよ．

【２】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}(e^x-e^{-x})$について次の問いに答えよ．

問１　$f(x)$の第$n$次導関数を$f^{(n)}(x)$とするとき，${\{f^{2n+1)}(x)\}}^2-{\{f^{(2n)}(x)\}}^2$を求めよ．

問２　$f(x)$の導関数を$f^{\prime }(x)$とするとき，${\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }}{\displaystyle \frac{dx}{f^{\prime }(x)}}$を求めよ．

問３　$f(x)$の逆関数を$g(x)=f^{-1}(x)$とする．$g(x)$が単調増加関数であることを示し，$g^{\prime }(0)$の値を求めよ．

【３】　曲線$C$上の座標が媒介変数$\theta$を用いて

$x={\cos }^3\theta \text{，}y={\sin }^3\theta$

で表されるとき，次の問いに答えよ．

問１　$C$上の一点$\mathrm{P}(x,y)$と原点を結ぶ距離の極小値を求めよ．

問２　$C$上の一点$\mathrm{P}(x,y)$における法線の方程式を求めよ．

問３　$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$における$C$の長さを求めよ．