Mathematics
Examination
Test
Archives
METAトップへ
年度一覧へ
1999年度一覧へ
大学別一覧へ
名古屋大学一覧へ
1999-10481-0101
1999 名古屋大学 前期
文科系,経済学部共通
易□ 並□ 難□
【1】 曲線 C: y=x⁢ |x -1| と,直線 l: y=k⁢ x に関して,以下の問に答えよ.
1) C と l が x> 0 で 2 つの交点を持つような k の範囲を求めよ.
2) k が1)で求めた範囲を動くとき, C と l によって囲まれる図形全体の面積を最小にする k の値を求めよ.
1999-10481-0102
【2】 A と B がゲームをくり返す.それぞれ最初の持ち点は 2 で,ゲームごとに勝者は敗者から 1 点をもらい,どちらか一方の持ち点が 0 になるまで続ける.ただし,各ゲームにおいて, A が勝つ確率を p ,B が勝つ確率を 1- p とする.
1) ちょうど 4 回目のゲームでどちらか一方の持ち点が 0 になる確率を求めよ.
2) 2⁢n 回目までのゲームで, A の持ち点が 0 になる確率を求めよ.
1999-10481-0103
文科系
【3】(b)との選択
【3】(a) 複素数 z (z ≠-1 ) に対し, f⁡(z )= z-1 z+1 とおく.このとき,以下の問に答えよ.
1) f⁡(f ⁡(z) )=z+ 1 をみたす z を求めよ.
2) 複素数平面上で 3 点 0 ,α ,f⁡( f⁡(α )) が正三角形をなすとき,複素数 α を求めよ.
1999-10481-0104
文科系・経済学部・理科系共通
文科系,経済では【3】(a)(文科系と経済学部で別問題)との選択
理科系は【1】
【3】(b)1) ベクトル a→ =(a 1,a 2) が次の条件(*)をみたすとき,点 ( a1, a2 ) の存在範囲を図示せよ.
(*)あるベクトル b→ =( b1, b2 ) が存在して, ( a→⋅ p→ )2 +( b→ ⋅p→ )2 = | p→ | 2 が任意のベクトル p→ に対して成り立つ
2) 1)で求めた a→ =(a 1,a 2) に対して,条件(*)にあるベクトル b →= (b1 ,b2 ) を求めよ.
1999-10481-0105
経済学部
【3】(a) 行列 A= ( p1 1-p 0 ) に対して, A の n 個の積 An を
An= ( pn rn qn sn ) ,n= 1, 2, 3, ⋯
とおく.
1) rn= pn- 1 ,sn =qn -1 ,pn +qn =1 (n =2 ,3 ,4 ,⋯ ) が成り立つことを示せ.
2) pn を求めよ.
1999-10481-0106
理科系
【2】 曲線 C:y =x3 上を動く点 P( t,t3 ) (ただし, t≠0 )がある.点 P における C の接線と C とのもう一つの交点を Q とし,点 Q における C の接線と C とのもう一つの交点を R とする.このとき, cos⁡∠ PQR のとりうる値の範囲を求めよ.
1999-10481-0107
【3】 N 個( N≧ 2 )の箱の中に 1 回に 1 つずつ無作為に玉を入れてゆく.玉が 2 つ入った箱ができたら,そこでその手続を中止する.ちょうど k 回目で玉が 2 つ入った箱がでる確率を P⁡ (N,k ) とする.
1) 2≦k≦ N+1 のとき, P⁡(N ,k) を求めよ.
2) limN→ ∞⁡ 1N ⁢log⁡P ⁡(2⁢ N,N+1 ) を区分求積法を用いて求めよ.
1999-10481-0108
【4】 n を 2 以上の自然数とする.条件
k1≧ 1, ⋯, kn- 1≧ 1, kn≧ 0
をみたす n 個の整数の組 (k1 ,k2 ,⋯, kn ) に対して,自然数 m⁡ (k1 ,k2 ,⋯, kn ) を次のように定める.
m⁡( k1, k2, ⋯,k n)= 2k1 +k2 +⋯+ kn -2 k2+ ⋯+k n- 2k3 +⋯+ kn -⋯- 2kn
1) 1999=m⁡ (k1 ,k2 ,k3 ,k4 ) となる (k1 ,k2 ,k3 ,k4 ) を求めよ.
2) m⁡( k1, k2) =m⁡( l1, l2) であれば, k1= l1 ,k2 =l2 が成り立つことを示せ.
3) n≧3 のとき, m⁡( k1, k2, ⋯,k n)=m ⁡(l 1,l 2,⋯ ,ln ) であれば, kj =lj ( j=1 , 2, ⋯, n) が成り立つことを示せ.