1999　名古屋大学　前期MathJax

【１】　曲線$C:y=x|x-1|$と，直線$l:y=kx$に関して，以下の問に答えよ．

1)　$C$と$l$が$x>0$で$2$つの交点を持つような$k$の範囲を求めよ．

2)　$k$が1)で求めた範囲を動くとき，$C$と$l$によって囲まれる図形全体の面積を最小にする$k$の値を求めよ．

【２】　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$がゲームをくり返す．それぞれ最初の持ち点は$2$で，ゲームごとに勝者は敗者から$1$点をもらい，どちらか一方の持ち点が$0$になるまで続ける．ただし，各ゲームにおいて，$\mathrm{A}$が勝つ確率を$p\text{，}\mathrm{B}$が勝つ確率を$1-p$とする．

1)　ちょうど$4$回目のゲームでどちらか一方の持ち点が$0$になる確率を求めよ．

2)　$2n$回目までのゲームで，$\mathrm{A}$の持ち点が$0$になる確率を求めよ．

【３】(a)　複素数$z\text{（}z\ne -1\text{）}$に対し，$f(z)={\displaystyle \frac{z-1}{z+1}}$とおく．このとき，以下の問に答えよ．

1)　$f(f(z))=z+1$をみたす$z$を求めよ．

2)　複素数平面上で$3$点$0\text{，}\alpha \text{，}f(f(\alpha ))$が正三角形をなすとき，複素数$\alpha$を求めよ．

【３】(b)1)　ベクトル$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)$が次の条件(＊)をみたすとき，点$(a_1,a_2)$の存在範囲を図示せよ．

(＊)あるベクトル$\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)$が存在して，${(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{p})}^2+{(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{p})}^2={|\overrightarrow{p}|}^2$が任意のベクトル$\overrightarrow{p}$に対して成り立つ

2)　1)で求めた$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2)$に対して，条件(＊)にあるベクトル$\overrightarrow{b}=(b_1,b_2)$を求めよ．

【３】(a)　行列$A=\left(\begin{array}{cc}p& 1\\ 1-p& 0\end{array}\right)$に対して，$A$の$n$個の積$A^n$を

$A^n=\left(\begin{array}{cc}{p}_n& r_n\\ q_n& s_n\end{array}\right)\text{，}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$

とおく．

1)　$r_n=p_{n-1}\text{，}{s}_n=q_{n-1}\text{，}{p}_n+q_n=1\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$が成り立つことを示せ．

2)　$p_n$を求めよ．

【２】　曲線$C:y=x^3$上を動く点$\mathrm{P}(t,t^3)$（ただし，$t\ne 0$）がある．点$\mathrm{P}$における$C$の接線と$C$とのもう一つの交点を$\mathrm{Q}$とし，点$\mathrm{Q}$における$C$の接線と$C$とのもう一つの交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，$\cos \angle \mathrm{PQR}$のとりうる値の範囲を求めよ．

【３】　$N$個（$N\geqq 2$）の箱の中に$1$回に$1$つずつ無作為に玉を入れてゆく．玉が$2$つ入った箱ができたら，そこでその手続を中止する．ちょうど$k$回目で玉が$2$つ入った箱がでる確率を$P(N,k)$とする．

1)　$2\leqq k\leqq N+1$のとき，$P(N,k)$を求めよ．

2)　$\underset{N\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{N}}\log P(2N,N+1)$を区分求積法を用いて求めよ．

【４】　$n$を$2$以上の自然数とする．条件

$k_1\geqq 1\text{，}\cdots \text{，}{k}_{n-1}\geqq 1\text{，}{k}_n\geqq 0$

をみたす$n$個の整数の組$(k_1,k_2,\cdots ,k_n)$に対して，自然数$m(k_1,k_2,\cdots ,k_n)$を次のように定める．

$m(k_1,k_2,\cdots ,k_n)=2^{k_1+k_2+\cdots +k_n}-2^{k_2+\cdots +k_n}-2^{k_3+\cdots +k_n}-\cdots -2^{k_n}$

1)　$1999=m(k_1,k_2,k_3,k_4)$となる$(k_1,k_2,k_3,k_4)$を求めよ．

2)　$m(k_1,k_2)=m(l_1,l_2)$であれば，$k_1=l_1\text{，}{k}_2=l_2$が成り立つことを示せ．

3)　$n\geqq 3$のとき，$m(k_1,k_2,\cdots ,k_n)=m(l_1,l_2,\cdots ,l_n)$であれば，$k_j=l_j\text{（}j=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$が成り立つことを示せ．