1999　京都大学　後期MathJax

【１】　座標平面上で原点を通る直線と$y=x|x+2|$のグラフが相異なる$3$点で交わっている．このグラフとこの直線によって囲まれる図形で，この直線より下側にあるものの面積を$S_1\text{，}$上側にあるものの面積を$S_2$とする．$S_1:S_2=9:8$となるとき，この直線の傾きを求めよ．

【２】　$\alpha \text{，}\beta$が$\alpha >0°\text{，}\beta >0°\text{，}\alpha +\beta <180°$かつ

${\sin }^2\alpha +{\sin }^2\beta ={\sin }^2(\alpha +\beta )$

を満たすとき，$\sin \alpha +\sin \beta$の取りうる範囲を求めよ．

【３】　座標平面上で，$x$座標と$y$座標が共に整数である点を格子点という．$n$は自然数であるとして，不等式

$x>0\text{，}y>0\text{，}{\log }_2{\displaystyle \frac{y}{x}}\leqq x\leqq n$

を満たす格子点の個数を求めよ．

【４】　$3$次関数$y=x^3+kx$のグラフを考える．連立不等式

$\{\begin{array}{c}y>-x\\ y<-1\end{array}$

が表す領域を$A$とする．$A$のどの点からも上の$3$次関数のグラフに接線が$3$本引けるための，$k$についての必要十分条件を求めよ．

【５】　自然数$a\text{，}b\text{，}c$について，等式$a^2+b^2=c^2$が成り立ち，かつ$a\text{，}b$は互いに素とする．このとき，次のことを証明せよ．

(1)　$a$が奇数ならば，$b$は偶数であり，したがって$c$は奇数である．

(2)　$a$が奇数のとき，

$a+c=2d^2$

となる自然数$d$が存在する．

【２】　$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$は$\alpha >0\text{，}\beta >0\text{，}\gamma >0\text{，}\alpha +\beta +\gamma =\pi$を満たすものとする．このとき，

$\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$

の最大値を求めよ．

【３】　$\alpha$を正の定数として，数列$a_n\text{，}{b}_n\text{（}n\geqq 1\text{）}$を次の式で定める．

$2a_{n+1}=\alpha (3{a_n}^2+2a_n{b}_n-{b_n}^2-a_n+b_n)$

$2b_{n+1}=\alpha (-{a_n}^2-2a_n{b}_n-{b_n}^2-a_n+b_n)$

$a_1=b_1=1$

(1)　$a_2\text{，}{b}_2\text{，}{a}_3\text{，}{b}_3\text{，}{a}_4\text{，}{b}_4$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{a_{2n+1}}{a_{2n}}}$を求めよ．

【４】　$▵\mathrm{ABC}$は鋭角三角形とする．このとき，各面すべてが$▵\mathrm{ABC}$と合同な四面体が存在することを示せ．

【５】　$a\text{，}b$を整数，$u\text{，}v$を有理数とする．$u+v\sqrt{3}$が

$x^2+ax+b=0$

の解であるならば，$u$と$v$は共に整数であることを示せ．ただし$\sqrt{3}$が無理数であることは使ってよい．

【６】(1)　$f(x)$は$a\leqq x\leqq b$で連続な関数とする．このとき，

${\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\displaystyle {\int }_a^b}f(x)dx=f(c)a\leqq c\leqq b$

となる$c$が存在することを示せ．

(2)　$y=\sin x$の$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の部分と$y=1$および$y$軸が囲む図形を，$y$軸のまわりに回転して得られる立体を考える．この立体を$y$軸に垂直な$n-1$個の平面によって各部分の体積が等しくなるように$n$個に分割するとき，$y=1$に最も近い平面の$y$座標を$y_n$とする．このとき，

$\underset{n\to \infty }{\lim }n(1-y_n)$

を求めよ．