1999　大阪大学　前期MathJax

1999-10561-0101

1999　大阪大学　前期

文系

配点率35%

易□　並□　難□

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　 $x y$ 平面上で，次の不等式を満たす点 $(x, y)$ の存在する領域を図示せよ．

$100^{\log_{10} x} + \log_{1000} {(\frac{1}{100})}^{x} + 10^{(\log_{10} y - \log_{10} 3)} ≦ 0$

(2)　点 $(x, y)$ が(1)の領域を動くとき，

$u = \sin (360 ° \times (x + y)) - \sqrt{3} (360 ° \times (x + y))$

がとる値の範囲を求めよ．

1999-10561-0102

1999　大阪大学　前期

文系

配点率35%

易□　並□　難□

【２】　放物線 $C : y = \frac{1}{2} x^{2}$ 上の原点以外の点 $P$ における $C$ の接線を $l_{1}$ とし， $P$ を通り $l_{1}$ と直交する直線を $l_{2}$ とする．また， $l_{2}$ と $C$ が再び交わる点を $Q$ とし， $Q$ における $C$ の接線を $l_{3}$ とする．さらに， $l_{1}$ と $l_{3}$ との交点を $R$ とする．

(1)　点 $R (x, y)$ について， $y$ を $x$ の式で表せ．

(2)　 $PR ≧ PQ$ となる点 $P$ の $x$ 座標の範囲を求めよ．

1999-10561-0103

1999　大阪大学　前期

文系

配点率30%

易□　並□　難□

【３】　正の整数の組 $(a, b)$ で， $a$ 以上 $b$ 以下の整数の総和が $500$ となるものをすべて求めよ．ただし， $a < b$ とする．

1999-10561-0104

1999　大阪大学　前期

理系

易□　並□　難□

【１】　曲線 $C : y = e^{x}$ と直線 $l : y = a x + b （ a > 0 ， b > 0 ）$ が $2$ 点 $P (x_{1}, y_{1})$ と $Q (x_{2}, y_{2})$ で交わっている．ただし， $x_{1} < x_{2}$ とする．

(1)　 $x_{2} - x_{1} = c$ とおくとき， $y_{1}$ と $y_{2}$ を $a$ と $c$ を用いて表せ．

(2)　 $P$ と $Q$ の距離が $1$ であるとする．曲線 $C$ と $x$ 軸および $2$ 直線 $x = x_{1} ， x = x_{2}$ とで囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転させて得られる回転体の体積を $V (a)$ とおくとき，

$\lim_{a \to \infty} \frac{V (a)}{a}$

を求めよ．

1999-10561-0105

1999　大阪大学　前期

理系

易□　並□　難□

【２】　 $x y$ 平面上の点 $(a, b)$ は， $d$ と $b$ がともに有理数のときに有理点と呼ばれる． $x y$ 平面において， $3$ つの頂点がすべて有理点である正三角形は存在しないことを示せ．ただし，必要ならば $\sqrt{3}$ が無理数であることは証明なしで使ってよい．

1999-10561-0106

1999　大阪大学　前期

理系

易□　並□　難□

【３】　平面上に，点 $O$ を中心とし点 $A_{1} ， A_{2} ， A_{3} ， A_{4} ， A_{5} ， A_{6}$ を頂点とする正六角形がある． $O$ を通りその平面上にある直線 $l$ を考え，各 $A_{k}$ と $l$ との距離をそれぞれ $d_{k}$ とする．このとき

$D = {d_{1}}^{2} + {d_{2}}^{2} + {d_{3}}^{2} + {d_{4}}^{2} + {d_{5}}^{2} + {d_{6}}^{2}$

は $l$ によらず一定であることを示し，その値を求めよ．ただし， $O A_{k} = r$ とする．

1999-10561-0107

1999　大阪大学　前期

理系

易□　並□　難□

【４】　 $x y z$ 空間内に $2$ つの立体 $K$ と $L$ がある．どのような $a$ に対しても，平面 $z = a$ による立体 $K$ の切り口は $3$ 点 $(0, 0, a) ， (1, 0, a) ， (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, a)$ を頂点とする正三角形である．また，どのような $a$ に対しても，平面 $y = a$ による立体 $L$ の切り口は $3$ 点 $(0, a, 0) ， (0, a, \frac{2}{\sqrt{3}}) ， (1, a, \frac{1}{\sqrt{3}})$ を頂点とする正三角形である．

　このとき，立体 $K$ と $L$ の共通部分の体積を求めよ．

1999-10561-0108

1999　大阪大学　前期

理系

易□　並□　難□

【５】　一辺の長さが $4$ の正方形の紙の表（おもて）を，図のように一辺の長さが $1$ のマス目 $16$ 個に区切る．その紙を $2$ 枚用意し， $A$ と $B$ の $2$ 人に渡す． $A$ と $B$ はそれぞれ渡された紙の $2$ 個のマス目を無作為に選んで塗りつぶす．塗りつぶしたあと，両方の紙を表を上にしてどのように重ね合わせても，塗りつぶされたマス目がどれも重ならない確率を求めよ．ただし， $2$ 枚の紙を重ね合わせるときには，それぞれの紙を回転させてもよいが，紙の四隅は合わせることとする．

1999 大阪大学 前期MathJax

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