1999　神戸大学　前期MathJax

【１】　$2$の倍数でも$3$の倍数でもない自然数全体を小さい順に並べてできる数列を$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots \text{，}{a}_n\text{，}\cdots$とする．このとき次の各問に答えよ．

(1)　$1003$は数列$\{a_n\}$の第何項か．

(2)　$a_{2000}$の値を求めよ．

(3)　$m$を自然数とするとき，数列$\{a_n\}$の初項から第$2m$項までの和を求めよ．

【２】　合同な平行四辺形を平面にしきつめて，図のように$2$組の平行線からなる格子を作り，その各交点を格子点と呼ぶ．

　図のような$3$つの格子点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$について${|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|}^2\text{，}{|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|}^2\text{，}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|}^2$はすべて整数であるとする．このとき，どの$2$つの格子点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$に対しても${|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|}^2$は整数となることを示せ．

【３】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は実数として，$x$の整式$f(x)\text{，}g(x)$が以下の条件をみたしているとする．

$\begin{array}{ll}f(x)+g(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d& \cdots \text{①}\\ f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)=b{x}^2+cx+d& \cdots \text{②}\\ {\displaystyle {\int }_a^x}\{f(t)-g(t)\}dt=x^3-a{x}^2+ax-2& \cdots \text{③}\end{array}$

　このとき$f(x)$と$g(x)$を求めよ．

【１】　$0<a<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とし，関数$f(x)$を

$f(x)=|x-a|\sin x(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

とする．$y=f(x)$のグラフと，$x$軸および直線$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で囲まれた$2$つの図形の面積の和を$S$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)　$S$を$a$を用いて表せ．

(2)　$a$が$0<a<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で動くときの$S$の最小値を求めよ．

【３】　$m$は実数とし，関数$f(x)$を

$f(x)=(x^2-x+m)\sin 3\pi x\text{（}0<x<1\text{）}$

とする．このとき$f(a)=0$となる$a\text{（}0<a<1\text{）}$のうち，$x=a$を境目にして関数$f(x)$の符号が変化するものの個数を求めよ．

【４】　連立不等式${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}x>3\text{，}y>3$の表す領域を$D$とする．このとき次の各問に答えよ．

(1)　$D$を図示せよ．

(2)　$D$内を$(x,y)$が動くとき$2x+y$のとる値の最小値を求めよ．また，そのときの$x\text{，}y$の値を求めよ．

【５】　$t$は$-1\text{，}0\text{，}1$のいずれとも異なる実数とする．行列$A$を

$A=\left(\begin{array}{ccc}{t}^2& 0& 0\\ 0& t& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

とおくとき，次の各問に答えよ．

(1)　$3\times 3$行列$X$で$AX=tXA$をみたすものをすべて求め，$X^3$が零行列となることを示せ．

(2)　$X$は$AX=tXA$をみたす$3\times 3$行列であるとする．$2$以上の自然数$n$に対して

${(X+A)}^n=A^n+b_{n}X{A}^{n-1}+c_n{X}^2{A}^{n-2}$

と書けることを示し，$b_{n+1}\text{，}{c}_{n+1}$を$b_n\text{，}{c}_n$を用いて表せ．ただし$A^0$は$3$次の単位行列を表すものとする．