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1999-10601-0101
1999 神戸大学 前期
文科系
易□ 並□ 難□
【1】 2 の倍数でも 3 の倍数でもない自然数全体を小さい順に並べてできる数列を a 1 ,a 2, a3 , ⋯, an , ⋯ とする.このとき次の各問に答えよ.
(1) 1003 は数列 { an} の第何項か.
(2) a2000 の値を求めよ.
(3) m を自然数とするとき,数列 {a n} の初項から第 2⁢ m 項までの和を求めよ.
1999-10601-0102
文科系・理科系共通
【2】 合同な平行四辺形を平面にしきつめて,図のように 2 組の平行線からなる格子を作り,その各交点を格子点と呼ぶ.
図のような 3 つの格子点 O ,A ,B について | OA→ | 2 , | OB→ | 2 , | AB→ | 2 はすべて整数であるとする.このとき,どの 2 つの格子点 P ,Q に対しても | PQ→ | 2 は整数となることを示せ.
1999-10601-0103
【3】 a ,b ,c ,d は実数として, x の整式 f⁡ (x) ,g⁡( x) が以下の条件をみたしているとする.
f⁡(x )+g⁡ (x)= a⁢x3 +b⁢ x2+c ⁢x+d ⋯ ① f′⁡ (x)+ g′⁡ (x)=b ⁢x2 +c⁢x+ d⋯② ∫ ax⁡ {f⁡(t )-g⁡( t)}⁢d t=x3 -a⁢x2 +a⁢x -2 ⋯③
このとき f⁡ (x) と g⁡ (x) を求めよ.
1999-10601-0104
理科系
【1】 0<a< π 2 とし,関数 f⁡ (x) を
f⁡(x )=| x-a | ⁢sin⁡x ( 0≦x≦ π 2)
とする. y=f⁡ (x) のグラフと, x 軸および直線 x= π 2 で囲まれた 2 つの図形の面積の和を S とするとき,次の各問に答えよ.
(1) S を a を用いて表せ.
(2) a が 0< a< π2 の範囲で動くときの S の最小値を求めよ.
1999-10601-0105
【3】 m は実数とし,関数 f⁡ (x) を
f⁡(x )=(x 2-x+ m)⁢sin ⁡3π⁢ x( 0< x<1 )
とする.このとき f⁡ (a)= 0 となる a (0 <a<1 ) のうち, x=a を境目にして関数 f⁡ (x) の符号が変化するものの個数を求めよ.
1999-10601-0106
【4】 連立不等式 1x+ 1y ≦ 13 ,x >3 ,y>3 の表す領域を D とする.このとき次の各問に答えよ.
(1) D を図示せよ.
(2) D 内を (x, y) が動くとき 2⁢ x+y のとる値の最小値を求めよ.また,そのときの x ,y の値を求めよ.
1999-10601-0107
【5】 t は -1 ,0 ,1 のいずれとも異なる実数とする.行列 A を
A=( t 20 0 0t 00 01 )
とおくとき,次の各問に答えよ.
(1) 3× 3 行列 X で A⁢ X=t⁢ X⁢A をみたすものをすべて求め, X3 が零行列となることを示せ.
(2) X は A⁢ X=t⁢ X⁢A をみたす 3 × 3 行列であるとする. 2 以上の自然数 n に対して
(X+ A)n =An +bn ⁢X⁢ An-1 +c n⁢X 2⁢A n-2
と書けることを示し, bn+ 1 ,cn +1 を bn , cn を用いて表せ.ただし A0 は 3 次の単位行列を表すものとする.