1999　岡山大学　前期MathJax

【１】　$0°<\theta <90°$とする．$x$についての$2$次方程式

$(1-\cos \theta )x^2+4({\sin }^2\theta )x+(1+\cos \theta )=0$

について，次の問いに答えよ．

(1)　この方程式が，ただ$1$つの解をもつような$\theta$の値と，そのときの解を求めよ．

(2)　この方程式が，$-1$以上の解をもつような$\theta$の値の範囲を求めよ．

【２】　$2$つの複素数$\alpha \text{，}\beta$が，条件

${\alpha }^2+{\beta }^2=-\alpha \beta \text{，}|\alpha +\beta |=3$

を満たしているとき，次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}$の偏角$\theta$を求めよ．ただし，$0°\leqq \theta <360°$とする．

(2)　$\alpha$の絶対値を求めよ．

(3)　複素数平面上で，$\alpha \text{，}\beta \text{，}\alpha +\beta \text{，}-i\alpha \text{，}i\beta$の表す$5$つの点を頂点とする五角形の面積を求めよ．

【３】　辺の長さが$4$の立方体$\mathrm{OABC}‐\mathrm{PQRS}$がある．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{E}\text{，}$辺$\mathrm{CS}$の中点を$\mathrm{F}\text{，}$辺$\mathrm{PS}$の中点を$\mathrm{G}\text{，}$辺$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{H}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$3$つのベクトル$\overrightarrow{d}\text{，}\overrightarrow{f}\text{，}\overrightarrow{g}$で表せ．ただし，$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}\text{，}\overrightarrow{f}=\overrightarrow{\mathrm{OF}}\text{，}\overrightarrow{g}=\overrightarrow{\mathrm{OG}}$とする．

(2)　$5$点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}$は同一平面上にあることを証明せよ．

(3)　五角形$\mathrm{DEFGH}$の面積を求めよ．

(4)　辺$\mathrm{BR}$を$3:1$の比に内分する点を$\mathrm{K}$とする．点$\mathrm{K}$を頂点とし，五角形$\mathrm{DEFGH}$を底面とする五角$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}$の体積を求めよ．

【４】　円$x^2+{(y-1)}^2=3$上の点$\mathrm{P}$から放物線$y={\displaystyle \frac{x^2}{2}}+1$に異なる$2$本の接線を引くことができるものとし，その$2$つの接点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．このとき線分$\mathrm{QR}$とこの放物線とで囲まれた部分の面積を最大とするような点$\mathrm{P}$の座標と，そのときの面積を求めよ．

【２】　$m\text{，}k$を自然数とする．等式

$x_1+x_2+\cdots +x_k=n+k-1\cdots \text{①}$

を満たす自然数$x_1\text{，}{x}_2\text{，}\cdots \text{，}{x}_k$の組の個数を$a(n,k)$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，例えば$(x_1,x_2)=(1,2)$と$(x_1,x_2)=(2,1)$とは別の組と考える．

(1)　式$\text{①}$における$x_k$の取りうる値の範囲を求めよ．

(2)　関係式

$a(n,k+1)={\displaystyle \sum _{j=1}^n}a(j,k)$

が成り立つことを示せ．

(3)　$a(n,1)\text{，}a(n,2)\text{，}a(n,3)\text{，}a(n,4)$を求め，$a(n,k)$を推定せよ．

(4)　(3)において，$a(1,k)\text{，}a(2,k)\text{，}\cdots \text{，}a(n,k)$の推定が正しいとしたとき，$a(n,k+1)$の推定が正しいことを証明せよ．

【３】　$a\text{，}b$を正の数とし，関数$f(x)$を

$f(x)=a{e}^x+b{e}^{-x}$

とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の最小値を求めよ．

(2)　関数$y=f(x)$のグラフが，$y$軸に平行なある直線に関して対称であることを証明せよ．

(3)　$x$についての方程式$f(x)=1$の解のうち，$x\geqq 0$を満たすものがただ$1$つであるような$a\text{，}b$の範囲を$ab$平面に図示せよ．

【４】　$a\text{，}b$を実数とする．$2$つの関数

$f(x)=\log (x^2+1)$

$g(x)=a{x}^2+b$

について次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(1)　関数$f(x)$の極値，曲線$y=f(x)$の変曲点を求め，そのグラフの概形をかけ．

(2)　曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$が共有点をもち，その点における$2$曲線の接線が一致する条件を求めよ．

(3)　(2)の条件において，$a={\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}b\ne 0$のとき，この$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．