1999　広島大学　前期MathJax

【１】　$2$点$(1,1)\text{，}(-1,5)$を通る$2$次関数のグラフについて，頂点を$(p,q)\text{，}y$軸との交点を$(0,k)$とする．

(1)　$p\text{，}q$を$k$で表せ．

(2)　$p\text{，}q$が共に正のとき，$k$の値の範囲を求めよ．

【２】　$a$を正の定数とし，$f(x)={\log }_2(a+x)+{\log }_4(a-x)$とする．

(1)　$f(x)$が最大となる$x$の値を求めよ．

(2)　$f(x)$の最大値が$4$以上のとき，$a$の値の範囲を求めよ．

【３】　正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の座標をそれぞれ$(2,3)\text{，}(1,2)\text{，}(a,b)$とする．ただし，$a>0$とする．

(1)　$a\text{，}b$の値を求めよ．

(2)　対角線$\mathrm{AD}\text{，}\mathrm{CF}$の交点の座標を求めよ．

【４】　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{AC}=1$とする．$\angle \mathrm{A}$の二等分線が辺$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{P}$とし，$\angle \mathrm{PAC}=\theta$とする．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{AP}$を$\theta$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{AP}=\mathrm{BP}$のとき，$\theta$の値を求めよ．

【５】　大小$2$個のさいころを同時に投げる試行において，出た目の数の和が$3$の倍数のときには$\mathrm{A}$が$3$点，$\mathrm{B}$が$0$点を得るとし，$3$の倍数でないときには$\mathrm{A}$が$0$点，$\mathrm{B}$が$1$点を得るとする．

(1)　この試行を$1$回行うとき，$\mathrm{A}$の得点の期待値と$\mathrm{B}$の得点の期待値を求めよ．

(2)　この試行を$n$回行うとき，$\mathrm{A}$の合計得点と$\mathrm{B}$の合計得点が等しくなる確率を，$1$から$10$までの自然数$n$のそれぞれについて求めよ．

【１】　$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$とする．

(1)　$X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$に対して，$AX=XA$が成り立つとき，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の満たす関係式を求めよ．

(2)　$2$次の正方行列$B\text{，}C$が

$AB=BA=C\text{，}BC=CB=A$

を満たすとき，$B\text{，}C$を求めよ．

【２】　$0<a<1$とする．点$(1,0)$から楕円${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+y^2=1$に引いた接線の接点の$x$座標を$b$とする．

(1)　$b$を$a$で表せ．

(2)　楕円${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+y^2=1$の$b\leqq x\leqq a$の部分と直線$x=b$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を$a$で表せ．

(3)　$V$の値が最大となる$a$の値と，そのときの$V$の最大値を求めよ．

【３】　$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$を満たす二等辺三角形$\mathrm{OAB}$において，頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$からそれぞれの対辺またはその延長上に引いた$2$つの垂線の交点を$\mathrm{G}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\angle \mathrm{AOB}=\theta$とおく．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$を満たす$s\text{，}t$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{G}$が三角形$\mathrm{OAB}$の外部または周上にあるときの$\theta$の値の範囲を求めよ．

(3)　${\displaystyle \frac{\pi }{6}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$のとき，${\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{GH}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{OH}}|}}$の値の範囲を求めよ．

【４】　$k$を定数とする．曲線$y=x^3-kx$上の点$\mathrm{P}(a,a^3-ka)$における接線$l$が，曲線上の$\mathrm{P}$と異なる点$\mathrm{Q}(b,b^3-kb)$を通るものとする．

(1)　$b$を$a$で表せ．

(2)　$\mathrm{Q}$における曲線$y=x^3-kx$の接線が$l$と直交するとき，$k\text{，}a$の満たす関係式を求めよ．

(3)　(2)で求めた関係式を満たす$a$が存在するような$k$の値の範囲を求めよ．

【５】　$n$が自然数のとき，次の不等式を証明せよ．ただし，$a>0$とする．

(ⅰ)　${(a+1)}^n\geqq a^n+n{a}^{n-1}$

(ⅱ)　${(n+1)}^n\geqq 2n^n$

(ⅲ)　$n!\leqq 2{\left({\displaystyle \frac{n}{2}}\right)}^n$

【６】　$1$から$n$までの自然数を$1$つずつ書いた$n$枚のカードがある．よくまぜて$1$枚引いては戻すということを$2$回行い，$1$回目に引いたカードに書かれている数と$2$回目に引いたカードに書かれている数の差の絶対値を得点とする試行を考える．

(1)　この試行を$1$回行うときの得点の期待値を$n$の式で表せ．

(2)　$n=3$とする．この試行を$3$回行うとき，得点の合計が$2$である確率を求めよ．