1999　九州大学　前期MathJax

【１】　$k$を実数として，$f(x)=x^2-2kx+{\displaystyle \frac{1}{5}}(2k-1)(4k-3)$とおく．方程式$f(x)=0$が実数解$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha \leqq \beta \text{）}$をもつとき，次の問に答えよ．

(1)　$\alpha \text{，}\beta$が$\alpha \leqq 1\leqq \beta$をみたすように$k$の値の範囲を定めよ．

(2)　(1)の場合に$f(x)$の最小値がとりうる値の範囲を求めよ．

【２】　長さ$2$の線分$\mathrm{AB}$を直径とする円を底面とし，高さが$\sqrt{3}$の直円錐を考える．この直円錐の側面上で$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を結ぶ最短の道を$l$とする．直円錐の頂点を$\mathrm{C}\text{，}$底面の中心を$\mathrm{O}$とし以下の問に答えよ．

(1)　直円錐の展開図をもちいて$l$の長さを求めよ．

(2)　$l$上の点$\mathrm{P}$に対して，線分$\mathrm{CP}$の延長と弧$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\angle \mathrm{AOQ}=\theta$として${\mathrm{CP}}^2$を$\sin \theta$で表せ．ただし，$0°\leqq \theta \leqq 180°$とする．

(3)　$\mathrm{P}$から線分$\mathrm{OQ}$に下ろした垂線を$\mathrm{PR}$とし，$\mathrm{A}$から線分$\mathrm{OQ}$に下ろした垂線を$\mathrm{AS}$とする．$0°<\theta \leqq 90°$の範囲で${\displaystyle \frac{{\mathrm{OS}}^2}{{\mathrm{OR}}^2}}$の最大値を求めよ．

【３】　実数$p\text{，}$自然数$q$に対して，数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$をそれぞれ

$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=p{a}_n-p\text{，}$

$b_1=q\text{，}{b}_{n+1}=b_n+{(-1)}^{n+1}q$

と定める．

(1)　$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$をはじめから順に区画に分け，第$m$区画に属する項の個数が$b_m$となるようにする．$m$を正の偶数とするとき第$m$区画に属する項の和$T_m$を求めよ．

【４】　実数$a\text{，}b$は$0<a<b$をみたすとする．次の$3$つの数の大小関係を求めよ．

${\displaystyle \frac{a+2b}{3}}\text{，}\sqrt{ab}\text{，}\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{b(a^2+ab+b^2)}{3}}}$

【５】　次の(1)，(2)では，それぞれ，その目的を実行するためのBASICによるプログラムの始めの部分が与えられている．方針を記述してから，プログラムの残りの部分を完成せよ．ただし，変数A(1)，A(2)等には座標$a_1\text{，}{a}_2$が入力されるものとする．

注意：(1)のプログラムでは配列を表すためにDIM文を使っているが，DIM文を使わないプログラムを作成してもよい．そのときは，行番号10の文は消去し，行番号20，30の文は

20 INPUT A1,A2

30 INPUT P1,P2

で置き換えるものとする．(2)についても，同様である．

(1)　座標平面上の原点$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{A}(a_1,a_2)$について，任意の点$\mathrm{P}(p_1,p_2)$から直線$\mathrm{OA}$への距離を表示すること．

10 DIM A(2),P(2)

20 INPUT A(1),A(2)

30 INPUT P(1),P(2)

(2)　点$\mathrm{A}(a_1,a_2)\text{，}\mathrm{B}(b_1,b_2)$を座標平面上の相異なる点とし，直線$\mathrm{AB}$で平面を二分する．点$\mathrm{P}(p_1,p_2)\text{，}\mathrm{Q}(q_1,q_2)$がこの直線の同じ側にあるときは$1$を，異なる側にあるときは$-1$を，$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の少なくとも一方がこの直線上にあるときは$0$を表示すること．ただし，ある点と直線との距離が，与えられた正数$0.00001$より小さいときはその点は直線上にあるとみなすことにする．

10 DIM A(2), B(2), P(2), Q(2)

20 EPS = 0.00001

30 INPUT A(1), A(2)

40 INPUT B(1), B(2)

50 INPUT P(1), P(2)

60 INPUT Q(1), Q(2)

【６】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$2$名で次のゲームを行う．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$はそれぞれ表に$1$から$n$までの数字がひとつずつ書かれた$n$枚のカードを持っている（裏には何も書かれていない）．$\mathrm{A}$は自分のすべてのカードを表を下にしてならべる．$\mathrm{B}$は，$\mathrm{A}$がならべたそれぞれのカードの前に自分のカードを表を上にして$1$枚ずつならべる．次に$\mathrm{A}$のカードを表向きにし，$\mathrm{B}$は数字が一致したカードの枚数だけ得点を得る．確率変数$X$を$\mathrm{B}$が$1$回のゲームで得る点数とするとき次の問に答えよ．

(1)　$n=5$のとき確率$P(X=2)$を求めよ．

(2)　$\mathrm{B}$のカードのうち数字が$1$のものが一致する確率を$p$とする．

$p={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_{k}P(X=k)$

と表すとき，$a_k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$を求めよ．

(3)　期待値$E(X)$を求めよ．

【７】　$k$を実数として，$2$次方程式$x^2+2kx+3k=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha \ne \beta \text{）}$とする．$i$を虚数単位として次の問に答えよ．

(1)　${|\alpha -i|}^2+{|\beta -i|}^2$の値を$k$を用いて表せ．

(2)　複素数平面において，複素数$\alpha \text{，}\beta \text{，}i$を表す点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{P}$とする．$\angle \mathrm{APB}$が直角になるような$k$の値を求めよ．

【８】　大きさ$1$の空間ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$が

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=0$

をみたすように与えられているとする．また空間ベクトル$\overrightarrow{d}\text{，}\overrightarrow{e}\text{，}\overrightarrow{f}$が

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{d}=1\text{，}\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{d}=0\text{，}\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{d}=0\text{，}$

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{e}=0\text{，}\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{e}=1\text{，}\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{e}=0\text{，}$

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{f}=0\text{，}\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{f}=0\text{，}\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{f}=1$

をみたすとき，点$\mathrm{D}(\overrightarrow{d})\text{，}\mathrm{E}(\overrightarrow{e})\text{，}\mathrm{F}(\overrightarrow{f})$および原点$\mathrm{O}$について次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{d}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}+z\overrightarrow{c}$となるような実数$x\text{，}y\text{，}z$を求めよ．同様に$\overrightarrow{f}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$で表せ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{d}\text{，}\overrightarrow{f}\text{，}\overrightarrow{d}-\overrightarrow{f}$の大きさを求めよ．

(3)　三角形$\mathrm{ODF}$の面積を求めよ．

(4)　四面体$\mathrm{ODEF}$の体積を求めよ．

【１】　$m$を$2$以上の自然数，$e$を自然対数の底とする．

(1)　方程式$x{e}^x-m{e}^x+m=0$をみたす正の実数$x$の値はただ$1$つであることを示せ．またその値を$c$とするとき，$m-1<c<m$となることを示せ．

(2)　$x>0$の範囲で$f\left(x\right)={\displaystyle \frac{e^x-1}{x^m}}$は$x=c$で最小となることを示せ．

(3)　$a_m$を(2)で求められる$f\left(x\right)$の最小値とするとき，$\underset{m\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log a_m}{m\log m}}$を求めよ．

【３】(1)　実数$k\geqq 0$に対し，

${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}\{y(x\cos \theta +{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2)-{(x\cos \theta +{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2)}^2\}\cos \theta d\theta =2k\pi$

をみたす$xy$平面内の曲線の方程式を求めよ．

(2)　(1)で求めた曲線と直線$y=a$との共有点が$1$個であるような実数$a$の範囲を求めよ．

【４】　関数$f(x)=1-x^2$について，次の問に答えよ．

(1)　$f(a)=a$をみたす正の実数$a$を求めよ．

(2)　$a$を(1)で求めた実数とする．

　$x\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$ならば，

$|f(x)-f(a)|\geqq {\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}|x-a|$

となることを示せ．

(3)　$a$を(1)で求めた実数とする．

　${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq x_1\leqq 1$として，

$x_{n+1}=f(x_n)\text{，}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}$

で決まる数列$\{x_n\}$を考える．すべての$n$に対して${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq x_n\leqq 1$がなりたつならば，$x_1=a$であることを示せ．