1999　東北学院大学　経済学部経済学科MathJax

【１】　$2$次関数$f(x)=a{x}^2-2bx-a$を考える．ただし，$a\text{，}b$は定数で$a>0$とする．

(ⅰ)　放物線$y=f(x)$の頂点の座標を求めよ．

(ⅱ)　$f(x)$が区間$-1\leqq x\leqq 1$で最大値$2\text{，}$最小値$-4$をとるとき，$a\text{，}b$の値を求めよ．

【２】　すべての実数$x$について

${\log }_a(a{x}^2+2x+2)>{\log }_{a}2+{\log }_a(x^2+5x+7)$

が成り立つような$a$の値の範囲を求めよ．ただし，$a>0\text{，}a\ne 1$とする．

【３】(ⅰ)　$t$を正の定数とするとき，$y=|x(x-t)|$のグラフの概形を描け．

(ⅱ)　関数$f(x)={\displaystyle {\int }_0^2}|x(x-t)|dx$の区間$0\leqq t\leqq 3$における最大値および最小値を求めよ．

【４】　$▵\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$があり，$3$直線$\mathrm{AP}\text{，}\mathrm{BQ}\text{，}\mathrm{CR}$が$1$点$\mathrm{T}$で交わっている．$\mathrm{AR}:\mathrm{RB}=2:1\text{，}\mathrm{BP}:\mathrm{PC}=t:(1-t)$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$0<t<1$である．

(ⅰ)　${\displaystyle \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}}}$を$t$を用いて表せ．

(ⅱ)　$t={\displaystyle \frac{1}{4}}$のとき，面積比$▵\mathrm{ABC}:▵\mathrm{BRT}$を求めよ．

【５】　$a_5=1024\text{，}{a}_{13}=64$である数列$\{a_n\}$について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\{a_n\}$が等差数列であるとき，$a_k\leqq -10000$となる最小の$k$を求めよ．

(ⅱ)　$\{a_n\}$が等比数列であるとき，$a_k=1$となる$k$を求めよ．

【６】　$|z|=1\text{，}z\ne i$であるすべての複素数$z$に対して，${\displaystyle \frac{z+c}{iz+1}}$が実数となるように，定数$c$の値を定めよ．

【７】　$1$から$7$までの番号のついた$7$枚のカードから$2$枚同時に抜き出し，抜き出したカードのうち大きいほうの番号を$X\text{，}$小さい方の番号を$Y$とする．$Z=X-Y$とするとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$Z=6$となる確率，$Z=5$となる確率をそれぞれ求めよ．

(ⅱ)　$Z$の平均$E(Z)$を求めよ．