1999　東北学院大学　工学部(機械・応物)MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．（結果だけでよい．）

　$(1+x)+{(1+x)}^2+\cdots +{(1+x)}^{15}$の$x^2$の係数を求めると，$\boxed{\text{（ア）}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．（結果だけでよい．）

　初項$99\text{，}$公差$-5$の等差数列で初項から第$n$項までの和が最大となるのは$n$が$\boxed{\text{（イ）}}$のときである．またそのときの和を求めると$\boxed{\text{（ウ）}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．（結果だけでよい．）

　平面上で原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(1,1)$をとる．線分$\mathrm{OA}$を$1$辺とする正三角形の頂点のうち，第$4$象限にある点の座標は$\boxed{\text{（ア）}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．（結果だけでよい．）

　複素数平面で原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を考える．右図のようにこの円周上に$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$を$▵\mathrm{PQR}$が正三角形になるようにとり，それぞれの点を表わす複素数を$z_{\mathrm{P}}\text{，}{z}_{\mathrm{Q}}\text{，}{z}_{\mathrm{R}}$とする．線分$\mathrm{OP}$と実軸の正の部分とのなす角を$\theta$とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　 $z_{\mathrm{Q}}$を$\theta$を用いて表わすと，$\boxed{\text{（イ）}}$である．

(ⅱ)　${z_{\mathrm{P}}}^2+{z_{\mathrm{Q}}}^2+{z_{\mathrm{R}}}^2$を求めると$\boxed{\text{（ウ）}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．（結果だけでよい．）

　数字$0\text{，}1\text{，}2\text{，}3$が書いてあるカードがそれぞれ$2$枚ずつある．これら$8$枚のカードを並べてできる$8$けたの整数は全部で$\boxed{}$個ある．

【２】　$3$辺の長さが$6\text{，}10\text{，}14$である$▵\mathrm{ABC}$において，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　最大辺の対角の大きさを求めよ．

(ⅱ)　$▵\mathrm{ABC}$の内接円の半径を求めよ．

【１】　次の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．（結果だけでよい．）

　定積分${\displaystyle {\int }_0^3}|x^2-3x+2|dx$を求めると$\boxed{}$である．

【２】　側面を展開すると半径$a\text{，}$中心角$180°$の扇形になるような直円錐を考える．この直円錐に内接する直円柱の底面の半径を$x$とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　直円柱の体積を$x$を用いて表わせ．

(ⅱ)　$x$を変えたとき，直円柱の体積の最大値を求めよ．

【１】　次の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．（結果だけでよい．）

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}(\sin x+1)\cos xdx=\boxed{}$

【２】　曲線$y=e^{2x}$について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　原点$\mathrm{O}$よりこの曲線に引いた接線の方程式を求めよ．

(ⅱ)　この曲線，$y$軸および(ⅰ)で引いた接線によって囲まれる図形の面積を求めよ．