1999　東北学院大学　工学部(電気，土木)MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．（結果だけでよい．）

　$x+y-z=0$および$2x-2y+z+1=0$をみたす$x\text{，}y\text{，}z$のすべての値に対し，

$a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2=1$

が成立するとき，定数$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めると，$(a,b,c)=\boxed{\text{（ア）}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．（結果だけでよい．）

　自然数の列をつぎのような群に分ける．

$1|2,3|4,5,6|7,8,9,10|11,12,13,14,15|\cdots$

(ⅰ)　第$10$群の初項を求めると$\boxed{\text{（イ）}}$である．

(ⅱ)　第$20$群の項の総和を求めると$\boxed{\text{（ウ）}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．（結果だけでよい．）

　$x^2+2x+3=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とするとき，${\alpha }^2\text{，}{\beta }^2$を$2$つの解とする$2$次方程式を求めると$\boxed{\text{（ア）}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．（結果だけでよい．）

　$z$は複素数で

$z^5+z^4+z^3+z^2+z+1=0$

を満たしている．このとき，次の値を求めよ．ただし$i=\sqrt{-1}$とする．

(ⅰ)　$|z|=\boxed{\text{（イ）}}$

(ⅱ)　${|z-i|}^2+{|z+i|}^2=\boxed{\text{（ウ）}}$

【１】　次の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．（結果だけでよい．）

　男子$2$人と女子$4$人が一列に並ぶとき，女子が$3$人以上続けて並ぶような並び方は$\boxed{}$通りである．

【２】　直角をはさむ$2$辺が$\mathrm{AB}=1\text{，}\mathrm{BC}=\sqrt{3}$である直角三角形$\mathrm{ABC}$がある．図のように直線$\mathrm{AB}$と$30°$で交わりながら動く直線$l$がある．直線$\mathrm{AB}$と直線$l$の交点を$\mathrm{E}$とし，$\mathrm{AE}=x$とする．直線$l$が切りとる直角三角形の下側の面積$y$を次の場合について$x$の式で表わせ．

【１】　次の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．（結果だけでよい．）

　$0°<\theta <360°$のとき，次の関数の最大値は$\boxed{}$である．

$y=2{\sin }^2\theta +3\sin \theta \cos \theta +6{\cos }^2\theta$

【２】　放物線$y=x^2-x$と$x$軸との交点で，原点と異なる点を$\mathrm{P}$とする．この放物線上の点$\mathrm{Q}(a,a^2-a)\text{（}a>1\text{）}$における接線と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　この接線と放物線と$x$軸とで囲まれた図形$\mathrm{PQR}$の面積$S_1$を求めよ．

(ⅱ)　この放物線と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．このとき，$S_1=S_2$となるような$a$の値を求めよ．

【１】　次の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．（結果だけでよい．）

　$2$つの曲線$y=e^x\text{，}y=e^{-x}$と直線$x=1$で囲まれる図形を，$x$軸の周りに回転してできる回転体の体積は$\boxed{}$である．

【２】　曲線$y={\sin }^{2}2x$について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　この曲線上の点$\mathrm{P}({\displaystyle \frac{\pi }{8}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$における接線$l$の方程式を求めよ．

(ⅱ)　原点を$\mathrm{O}\text{，}l$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．この曲線と接線$l$および$y$軸で囲まれる図形$\mathrm{OPQ}$の面積を求めよ．