1999　東北学院大学　教養（言語），法学部MathJax

【１】　原点$\mathrm{O}$から出発して数直線上を動く点がある．硬貨を投げて，表が出れば正の方向に$1$だけ進み，裏が出れば負の方向に$1$だけ進むものとする．

(ⅰ)　硬貨を$4$回投げたとき，原点にもどる確率を求めよ．

(ⅱ)　硬貨を$5$回投げたとき，座標が$1$の点にいる確率を求めよ．

(ⅲ)　硬貨を$6$回投げたとき，$6$回目にはじめて原点にもどる確率を求めよ．

【２】　連立不等式

$0\leqq x\leqq 5\text{，}y\geqq 0\text{，}3y-4x-4\leqq 0$

で表される領域を$A$とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　領域$A$を図示せよ．

(ⅱ)　$x$軸と直線$x=5$に接し，領域$A$に含まれる円のうちで，半径が最大となるものの中心の座標を求めよ．

【３】　$1$次関数$f(x)=ax+b\text{，}g(x)=px+q$が条件

${\displaystyle {\int }_0^1}xf(x)dx={\displaystyle {\int }_0^1}g(x)dx=0\text{，}{\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx={\displaystyle {\int }_0^1}xg(x)dx=1$

を満たしているとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a\text{，}b\text{，}p\text{，}q$の値を求めよ．

(ⅱ)　${\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(x)g(x)dx$の値を求めよ．

【４】　$a\text{，}b\text{，}c$を正の数とするとき，次の各不等式が成り立つことを示せ．また等号が成立するのはどんな場合か．

(ⅰ)　$a+{\displaystyle \frac{1}{a}}\geqq 2$

(ⅱ)　$(a+{\displaystyle \frac{1}{b}})(b+{\displaystyle \frac{4}{a}})\geqq 9$

(ⅲ)　$(a+{\displaystyle \frac{1}{b}})(b+{\displaystyle \frac{4}{c}})(c+{\displaystyle \frac{9}{a}})\geqq 48$

【５】　$▵\mathrm{ABC}$の$3$辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$があり，$\mathrm{AP}\text{，}\mathrm{BQ}\text{，}\mathrm{CR}$が$1$点で交わっているとする．$\mathrm{QR}$と$\mathrm{BC}$が平行でないとき，直線$\mathrm{QR}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{S}$とすると，

$\mathrm{BP}:\mathrm{BS}=\mathrm{CP}:\mathrm{CS}$

が成り立つことを示せ．

【６】　空間内に点$\mathrm{A}(1,2,3)$がある．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$x$軸と直交し，$z$軸の正の向きとのなす角が$45°$であり，$y$成分が正である単位ベクトル$\overrightarrow{t}$を求めよ．

(ⅱ)　$\mathrm{O}$を原点とし，$\overrightarrow{t}=\overrightarrow{\mathrm{OT}}$となるように点$\mathrm{T}$を定め，直線$\mathrm{OT}$上に$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}$をとる．$\mathrm{OP}\perp \mathrm{AP}$であるとき，$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【７】　$z+{\displaystyle \frac{1}{z}}=\sqrt{2}$を満たす複素数$z$について次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$z$の値を求めよ．

(ⅱ)　$z^{100}+{\displaystyle \frac{1}{z^{100}}}$の値を求めよ．