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1999-12441-0601
1999 東北学院大学 教養(情報),文学部
必須問題
2月4日実施
易□ 並□ 難□
【1】 3 桁の正の整数 n の百の位,十の位,一の位の数字をそれぞれ a ,b ,c とする.次の問いに答えよ.
(ⅰ) a ,b ,c がすべて奇数である n は何個あるか.
(ⅱ) a ,b ,c のうち少なくとも 1 つは 3 である n は何個あるか.
(ⅲ) a+b+ c=6 を満たす n は何個あるか.
(ⅳ) a≧b≧ c を満たす n は何個あるか.
1999-12441-0602
【2】〜【7】から2題選択
【2】 点 (2, -1) を中心とし,直線 l: 3⁢x- 4⁢y= 0 に接する円を C とする.
(ⅰ) 円 C の半径はいくらか.
(ⅱ) 円 x2 +y2 =4 と C の 2 つの交点を通る直線 m の方程式を求めよ.
(ⅲ) 2 直線 l と m のなす角を θ ( 0° <θ< 90° ) とするとき, tan⁡θ の値を求めよ.
1999-12441-0603
【3】 放物線 y= x2 上の 2 点 A( a,a2 ), B(a +1, (a+1 )2 ) における接線の交点を C とするとき,次の問いに答えよ.
(ⅰ) 点 C の座標を求めよ.
(ⅱ) 三角形 ABC の重心 G の座標を求めよ.
(ⅲ) a が変化するとき,点 G の軌跡を求めよ.
1999-12441-0604
【4】(ⅰ) すべての自然数 n について
1 (2⁢n -1)⁢ (2⁢n +1)⁢ (2⁢n +3)
= a (2⁢n -1)⁢ (2⁢n +1) - b(2 ⁢n+1 )⁢(2 ⁢n+3 )
が成り立つように,定数 a, b の値を定めよ.
(ⅱ) 和 11⋅ 3⋅5 + 13⋅ 5⋅7 + 15⋅ 7⋅9 +⋯ +1 31⋅33 ⋅35 を求めよ.
1999-12441-0605
【5】 x+y= 1, x2+ y2= 3 のとき,次の式の値を求めよ.
(ⅰ) x3+ y3
(ⅱ) x7+ y7
1999-12441-0606
【6】 整式 f⁡ (x) を (x -1) 2 で割ると 2⁢ x+2 余り, (x+ 1)2 で割ると 3⁢ x-1 余る.このとき,次の問いに答えよ.
(ⅰ) f⁡(x ) を x2 -1 で割った余りを求めよ.
(ⅱ) f⁡(x ) を x3 -x2 -x+ 1 で割った余りを求めよ.
1999-12441-0607
【7】 複素数平面上で,等式 |z -2-i |=1 を満たす点 z の描く図形を C とする.
(ⅰ) C の概形を描け.
(ⅱ) w=i⁢ z+α とする.点 z が C 上を動くとき,点 w が描く図形と C が一致するように α の値を定めよ.
(ⅲ) 点 z が C 上を動くとき, |z2 | の最大値と最小値を求めよ.