1999　慶応義塾大学　理工学部MathJax

【１】　高さ$h\text{，}$頂角$2\theta$の二等辺三角形を頂角の二等分線を軸として回転し円錐を作る．頂点を$\mathrm{O}$とし，回転軸上$\mathrm{OA}=r_1\text{，}\mathrm{OB}=r_2$の位置に点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$をとる．ただし$0<r_1<r_2<h$とする．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を中心とし，（底面をのぞく）円錐面に内接する球$S_{\mathrm{A}}\text{，}{S}_{\mathrm{B}}$を，円錐内に互いに交わらないように配置したい．これが可能なための条件を$r_1\text{，}{r}_2\text{，}h\text{，}\theta$を用いて表せば，

$r_1\times {\displaystyle \frac{1+\sin \theta }{\boxed{\text{(ア)}}}}<r_2$$\leqq {\displaystyle \frac{h}{\boxed{\text{(イ)}}}}$

となる．このとき，$2$つの球$S_{\mathrm{A}}$と$S_{\mathrm{B}}$に接するような平面$\Omega$がとれる．この平面$\Omega$が円錐面と交わってできる曲線上の任意の点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{OP}$と$S_{\mathrm{A}}$の接点を$\mathrm{H}$とする．さらに，平面$\Omega$と球$S_{\mathrm{A}}$の接点を$\mathrm{F}\text{，}$球$S_{\mathrm{B}}$との接点を$\mathrm{G}$とすれば，$\mathrm{PH}$と$\mathrm{PF}$との比較などによって$\mathrm{PF}+\mathrm{PG}$は$\mathrm{P}$によらない一定の値$\boxed{\text{(ウ)}}$であることがわかる．つまりこの曲線は楕円である．また，$\mathrm{FG}=\sqrt{{(r_1-r_2)}^2-\boxed{\text{(エ)}}}$であることから，この楕円の長径は(ウ)，短径は$\boxed{\text{(オ)}}$であることもわかる．

【２】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{e^x-1}}+e^x\text{（}x>0\text{）}$を考える．$2$直線$x=t\text{，}x=t+1\text{（}t>0\text{）}$と曲線$y=f(x)$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$S(t)$とする．

$S^{\prime }(t)={\displaystyle \frac{e^{t+1}-(\boxed{\text{(カ)}})}{(e^{t+1}-1)(e^t-1)}}(e-1)e^{2t}$

であり，$S(t)$が最小となる$t$の値は$t_0=\log (\boxed{\text{(キ)}})$である．また，関数$S(t)$は

$\log \left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{(ク)}}}{e(e^t-1)}}\right)+(e-1)e^t$

と表せるので$S(t)$の最小値は

$S(t_0)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(ケ)}}}{e}}$

となる．

【３】　つぼの中に$3$個のボールがあり，それぞれ，$-1\text{，}0\text{，}1$の数字が書かれている．この中からでたらめにボールを$1$つ取り出し，書いてある数字を読みとり記録する．次に，そのボールをつぼに戻した上でふたたびボールを取り出し同じように数字を記録する．この操作を$2n$回（$n\geqq 1$）くり返した上で，記録された$2n$個の数字を並べ直して$X_1\leqq X_2\leqq \cdots \leqq X_{2n}$となるようにする．このとき$X_{2n}\leqq 0$となる確率は$\boxed{\text{(コ)}}\text{，}{X}_{2n}=0$となる確率は$\boxed{\text{(サ)}}$であり，$X_{2n}$の期待値$E[X_{2n}]$は$\boxed{\text{(シ)}}$となる．したがって$\underset{n\to \infty }{\lim }E[X_{2n}]=1$である．また，$X_n$の期待値$E[X_n]$は$-\boxed{\text{(ス)}}{\displaystyle \frac{2^n}{3^{2n}}}$となり，$\underset{n\to \infty }{\lim }E[X_n]=\boxed{\text{(セ)}}$である．

【４】(1)　微分可能な関数$h(x)$に対し関数$g(x)$を

$g(x)={\displaystyle {\int }_0^x}h(t)\cos (x-t)dt$

で定義する．$g(x)+g^{″}(x)$を関数$h(x)$を用いてあらわせば，$g(x)+g^{″}(x)=\boxed{\text{(ソ)}}$である．

(2)　(1)の結果を用いて，$g(x)$がつねに$0$ならば$h(x)$もつねに$0$であることを証明し，それを$\boxed{\text{(タ)}}$に書きなさい．（解答用紙の位置に注意しなさい．）

(3)　

$g_n(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{t}^n\cos (x-t)dt$

とおく．$n\geqq 2$のとき$g_n(x)$と$g_{n-2}(x)$の間には関係式$g_n(x)=\boxed{\text{(チ)}}$が成り立つ．

(4)　関数$f(t)=\boxed{\text{(ツ)}}$は

${\displaystyle {\int }_0^x}f(t)\cos (x-t)dt=x^{10}$

をみたす．

【５】　縦の長さが自然数$m\text{，}$横の長さが自然数$n$の板$R_{mn}$がある．縦の長さ$2\text{，}$横の長さ$1$の長方形のタイル$A$と，縦の長さ$1\text{，}$横の長さ$3$の長方形のタイル$B$の二種類のタイルを縦横の向きは変えずに用いて，板$R_{mn}$をぴったり覆うように貼り詰めたい（たとえば，図の斜線部に$A$は貼れない）．もしこれが可能なら，実は$A\text{，}B$どちらか一種類のタイルだけで張り詰められることが次のようにして証明できる．

　$R_{mn}$を縦横の長さが$1$の正方形$m\times n$個のます目に分割し，上から$s$番目，左から$t$番目のます目には${(-1)}^s{\omega }^t$を記入する．ここで，$\omega$は${\omega }^3=1\text{，}\omega \ne 1$をみたす複素数である．

(1)　$A\text{，}B$のどちらのタイルであってもその一枚を$R_{mn}$のます目に合わせて貼れば，覆われたます目に記入された複素数の和は貼った場所によらず常に$0$であることを示しなさい．

(2)　$R_{mn}$を$A\text{，}B$のタイルによって張り詰めることができれば，$A\text{，}B$どちらか一種類のタイルだけで張り詰められることを示しなさい．