1999　慶応義塾大学　経済学部MathJax

【１】　$x$の$3$次関数$f(x)=-2{(x-1)}^3+a{x}^2+bx+c$は$(x-1)$を因数にもつ．曲線$y=f(x)$の$x=1$における接線の傾きは$2$で，この接線と曲線$y=f(x)$は$x=2$で交わる．このとき，$a=\boxed{\text{(1)}\text{(2)}}\text{，}b=\boxed{\text{(3)}\text{(4)}}\text{，}c=\boxed{\text{(5)}\text{(6)}}$である．

【２】　数列$\{a_n\}$を

$\{\begin{array}{l}{a}_{n+1}=2a_n+1\\ a_1=3\end{array}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．このとき，一般項$a_n$は

$\boxed{\text{(7)}\text{(8)}}\times {\boxed{\text{(9)}\text{(10)}}}^n+\boxed{\text{(11)}\text{(12)}}$

である．また初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和は

$\boxed{\text{(13)}\text{(14)}}\times {\boxed{\text{(15)}\text{(16)}}}^n+\boxed{\text{(17)}\text{(18)}}n+\boxed{\text{(19)}\text{(20)}}$

で，この和が$1000$を超えるのは$n\geqq \boxed{\text{(21)}\text{(22)}}$のときである．

【３】　$x$についての$4$次式

$f(x)=x^4-a{x}^3+(-2a^2+a+4)x^2+(-2a^2+4a)x+4a$

を$x$についての$2$次式の積に因数分解すると，

$f(x)=\{x^2+(\boxed{\text{(23)}\text{(24)}}a+\boxed{\text{(25)}\text{(26)}})x+4\}$

$\times \{x^2+(\boxed{\text{(27)}\text{(28)}}a+\boxed{\text{(29)}\text{(30)}})x+a\}$

となる．$4$次方程式$f(x)=0$が実数解をもたない実数$a$の範囲は$\boxed{\text{(31)}\text{(32)}}<a<\boxed{\text{(33)}\text{(34)}}$である．

【４】　$\mathrm{A}$の袋と$\mathrm{B}$の袋がある．$\mathrm{A}$の袋には白玉が$4$個と赤玉が$2$個，$\mathrm{B}$の袋には白玉が$2$個と赤玉が$3$個入っている．

(1)　$\mathrm{A}$の袋と$\mathrm{B}$の袋から同時に$1$個ずつ玉をとり出す．それらが同じ色である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(35)}\text{(36)}}}{\boxed{\text{(37)}\text{(38)}}}}$である．

(2)　$\mathrm{A}$の袋から玉を$2$個とり出す．この$2$個に含まれる白玉の個数の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(39)}\text{(40)}}}{\boxed{\text{(41)}\text{(42)}}}}$である．

(3)　$\mathrm{A}$の袋から玉を$1$個とり出し$\mathrm{B}$の袋に入れる．次に$\mathrm{B}$の袋から玉を$1$個とり出したとき，この玉が白である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(43)}\text{(44)}}}{\boxed{\text{(45)}\text{(46)}}}}$である．

(注)　(1)，(2)の各操作のあと，それぞれ玉はもとの状態にもどすものとする．

【５】　$2$次関数$y=f(x)$のグラフは，$3$点$(0,0)\text{，}(0,1)\text{，}(a,a^5-5a^3+4a)$を通る．ただし，$a$は定数で$0<a<1$を満たすとする．

(1)　関数$f(x)$を求めると，$f(x)=\boxed{\text{ア}}$である．

(2)　(1)で求めた$f(x)$について定積分を計算すると，${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx=\boxed{\text{イ}}$である．

　また${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx$が最大となる$a$の値は$\boxed{\text{ウ}}$である．

【６】　空間において，点$\mathrm{A}(1,3,0)$を通りベクトル$\overrightarrow{a}=(-1,1,-1)$に平行な直線を$l\text{，}$点$\mathrm{B}(-1,3,2)$を通りベクトル$\overrightarrow{b}=(-1,2,0)$に平行な直線を$m$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$の大きさ$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|$を求めると，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=\boxed{\text{エ}}$である．

(2)　直線$l$上の任意の点を$\mathrm{P}(x,y,z)$とする．ベクトル$\overrightarrow{p}=(x,y,z)$を媒介変数$t$を用いて表すと，$\overrightarrow{p}=\boxed{\text{オ}}$である．

(3)　$\mathrm{P}$は直線$l$上の点，$\mathrm{Q}$は直線$m$上の点とする．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$の大きさ$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|$の最小値と，そのときの$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の座標とを求めよ．

【７】　複素数$z$は等式

$\left|{\displaystyle \frac{z-2}{z-1}}\right|=2$

を満たす．

(1)　複素数平面上で，$z$の表す点を$\mathrm{P}(x,y)$とする．点$\mathrm{P}$からそれぞれ点$\mathrm{A}(2,0)\text{，}\mathrm{B}(1,0)$に引いた線分$\mathrm{PA}$と$\mathrm{PB}$の長さの比を求めると，

$\mathrm{AP}\text{の長さ}:\mathrm{PB}\text{の長さ}=\boxed{\text{カ}}$

である．また点$\mathrm{P}$はどのような図形上にあるか，図形の方程式を求め，図示せよ．

(2)　

$w={\displaystyle \frac{z-1}{z}}$

とおく．$w$の表す点を$\mathrm{Q}(x,y)$とする．点$\mathrm{Q}$はどのような図形上にあるか．図形の方程式を求め，図示せよ．