1999　慶応義塾大学　商学部MathJax

【１】(1)　$1$から$10$までの背番号をつけた$10$人の人たちがいる．この$10$人の人たちを$\mathrm{A}$組と$\mathrm{B}$組の$2$つの組に分けることを考える．ただし，$\mathrm{A}$組にも$\mathrm{B}$にも少なくとも$1$人の人が属する組分けのみを考えるものとする．

(ⅰ)　背番号$1$の人が$\mathrm{A}$組に属する組分けの総数は$\boxed{\text{ア}}$通りである．

(ⅱ)　背番号$1$の人と背番号$2$の人が別の組に属する組分けの総数は$\boxed{\text{イ}}$通りである．

(ⅲ)　どの組分けも等しい確率で起こるものとすると，背番号$1$と背番号$2$の人が同じ組に属し，背番号$3$の人がそれとは別の組に属する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．

(2)　$1$から$n\text{（}n\geqq 3\text{）}$までの背番号をつけた$n$人の人たちがいる．この$n$人の人たちを$\mathrm{A}$組と$\mathrm{B}$組の$2$つの組に分けることを考える．ただし，$\mathrm{A}$組にも$\mathrm{B}$組にも少なくとも$1$人の人が属する組分けのみを考えるものとする．

　どの組分けも等しい確率で起こるものとすると，背番号$1$と背番号$2$の人が同じ組に属する確率は$\boxed{\text{オ}}$である．

【２】　$n$は$6$以上の整数である．

(1)　${(1+x)}^n$の展開式における$x^4\text{，}{x}^5\text{，}{x}^6$の係数をそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c$とする．$a\text{，}b\text{，}c$がこの順序で等差数列になるのは$n=\boxed{\text{ア}}$または$\boxed{\text{イ}}$のときである．$n$がこれらのうち小さい方の値をとるとき，$a=\boxed{\text{ウ}}\text{，}b=\boxed{\text{エ}}\text{，}c=\boxed{\text{オ}}$である．

(2)　$(1+x)+{(1+x)}^2+{(1+x)}^3+\cdots +{(1+x)}^n$における$x^3$の係数は$\boxed{\text{カ}}$である．

【３】　複素数$z\text{，}w$について，

$|z|=3\text{，}|w|=2\text{，}|z+w|=\sqrt{7}\text{，}\arg z={\theta }_1\text{，}\arg w={\theta }_2$

である．

(1)　$\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$であり，${\displaystyle \frac{z}{w}}$の$0\mathrm{°}$以上$360\mathrm{°}$未満の偏角は$\boxed{\text{ウ}}\mathrm{°}$または$\boxed{\text{エ}}\mathrm{°}$である．

(2)　$|z^6-w^6|=\boxed{\text{オ}}$である．

【４】　$2$つの$x$の関数$f(x)=3x^2-3a$と$g(x)=3{(x-5)}^2+2a$を考える．$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフは点$(p,q)$で交わり，関数$f(x)$は$x=p$の近くで増加し，関数$g(x)$は$x=p$の近くで減少しているものとする．この条件を満たす$a$の範囲は

$-\boxed{\text{ア}}<a<\boxed{\text{イ}}\cdots \text{①}$

である．次に，$a$を少し増加させると，$y=f(x)$のグラフは$y$軸の負の方向に移動し，$y=g(x)$のグラフは$y$軸の正の方向に移動する．その結果，交点$(p,q)$も移動することになる．そこで，$a$に対して交点の$y$座標である$q$を対応させる関数を$q=h(a)$と表す．$h(a)$の導関数を調べると，$\text{①}$の$a$の範囲において，

$-\boxed{\text{ウ}}<h^{\prime }(a)<\boxed{\text{エ}}$

である．

【５】　原点を$\mathrm{O}$とする空間において，$2$点$\mathrm{A}(3,2,1)$と$\mathrm{B}(1,-1,-1)$が与えられたとする．平面$\mathrm{OAB}$に含まれない点$\mathrm{P}$から直線$\mathrm{OA}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{Q}\text{，}$直線$\mathrm{OB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{R}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}+\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{OS}}$とする．

　なお解答に際しては，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$とおき，ベクトル$\overrightarrow{x}$の大きさは$\left|\overrightarrow{x}\right|$で，$2$つのベクトル$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{y}$の内積は$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y}$で表せ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{PS}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{p}$で表すと，

$\overrightarrow{\mathrm{PS}}=\boxed{\text{ア}}$

である．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{PS}}$と$\overrightarrow{a}$の内積を求めよ．所定の解答欄に計算の過程を明記せよ．

【６】(1)　$x$の$2$次方程式$9x^2-12x+k=0$の$2$つの解が，ある$\theta$を使い$\sin \theta \text{，}\cos \theta$と表されている．このとき，$k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$であり，この$2$つの解のうち大きい方の解は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{オ}}}}{\boxed{\text{カ}}}}$である．

(2)　$k$が(1)で求めた値をとるとき，曲線

$y=9x^2-12x+k\cdots \text{②}$

と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積を$S$とし，曲線$\text{②}$と$x$軸で囲まれた図形の面積を$T$とする．このとき，$S$と${\displaystyle \frac{T}{2}}$との差は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$である．