1999　慶応義塾大学　総合政策学部MathJax

【１】

(1)　すべての$a>0$に対して$a+{\displaystyle \frac{4}{a}}\geqq b$を満たす最大の$b$は$\boxed{\text{ア}}$である．

【１】

(2)　$f(x)=|x^2|x-1|+x^3-1|$のとき，$f^{\prime }(-{\displaystyle \frac{1}{2}})=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】

(3)　$a\text{，}b$が${\displaystyle \frac{a^2}{16}}+{\displaystyle \frac{b^2}{3}}=1$を満たすとき，$a+\sqrt{3}b$の最大値は$\boxed{\text{ウ}}\text{，}$最小値は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】

(4)　$\alpha$は第$3$象限の角で，$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}}$であるとする．このとき，

$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\sqrt{\boxed{\text{カ}}}}}\text{，}\sin 2\alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$

である．

【１】

(5)　集合$\mathrm{A}$を$60$の約数全体，集合$\mathrm{B}$を$100$以下の自然数で$3$で割った余りが$1$となるもの全体とする．このとき，$\mathrm{B}$と$\mathrm{A}\cap \bar{\mathrm{B}}$の要素の数は，それぞれ$\boxed{\text{ケ}}$と$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　$10$個の放物線$C_n:y=-{(x-n)}^2+n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}10\text{）}$を考える．

(1)　$C_n$と$C_{n+1}$の交点を${\mathrm{P}}_n$とすれば，${\mathrm{P}}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}9\text{）}$は直線$y=\boxed{\text{ア}}x+\boxed{\text{イ}}$上にある．

(2)　$C_1\text{，}{C}_2\text{，}\cdots \text{，}{C}_{10}$の共通接線$l$は$\boxed{\text{ウ}}x+\boxed{\text{エ}}y=1$である．

(3)　$\{(x,y)|y\leqq -{(x-n)}^2+n\text{，}y\geqq x\}$で定義される領域の面積を$S_n$とすれば，

$S_1+S_2+\cdots +S_{10}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$

である．

(4)　$l\text{，}{C}_n\text{，}{C}_{n+1}$で囲まれた領域の面積を$T_n$とすれば，

$T_1+T_2+\cdots +T_9={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$

である．

【３−１】　数字$0\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$をそれぞれ$1$回使って$5$桁の数をつくる．このようにして得られた数は全部で$\boxed{\text{イ}}$個ある．ただし，左先頭に$0$がある場合，その数は$4$桁の数と考える．このような$4$桁の数を全部加えると，$\boxed{\text{ウ}}\times 1111$である．よって得られた$5$桁の数の総和は

$\boxed{\text{エ}}\times 11111-\boxed{\text{オ}}\times 1111$

である．

【３−２】　以下の空欄に適切な解答を，最後の選択しから選びその番号を解答欄に記入しなさい．

　$n$個から$r$個（$0\leqq r\leqq n$）を選ぶ順列の数を${}_{n}P_r\text{，}$組合せの数を${}_{n}C_r$とすれば，

${}_{n}P_0={}_{n}C_0=\boxed{\text{カ}}\text{，}$

$r\geqq 1$のとき，

${}_{n}P_r=\boxed{\text{キ}}{}_{n}P_{r-1}\text{，}$

${}_{n}C_r={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}{}_{n}C_{r-1}$

となる．

　次ページのプログラムは上の式を参考に，正の整数Nと正または0の整数Rを入力し，N個からR個を選ぶ順列の数と組合せの数を求めるものである．

• 100 REM 順列と組合せの数を求める
• 110 PRINT 順列の数nPrと組合せの総数nCrの計算
• 120 INPUT "n = ";N
• 130 INPUT "r = ";R
• 140 IF$\boxed{\text{コ}}$THEN GOTO 250
• 150 P =$\boxed{\text{サ}}$
• 160 C =$\boxed{\text{シ}}$
• 170 IF R = 0 THEN GOTO$\boxed{\text{ス}}$
• 180 FOR K = 1 TO R
• 190 P = P *$\boxed{\text{セ}}$
• 200 C = C *$\boxed{\text{ソ}}$/$\boxed{\text{タ}}$
• 210 NEXT K
• 220 PRINT "nPr = "; P
• 230 PRINT "nCr = ";C
• 240 GOTO 260
• 250 PRINT "rがn以下でないので計算できません"
• 260 END

選択肢

【４】　表１は天気と気温と山の高さの各条件のもとで，登山するか，しないかの決め方を表している．YESは登山することを，NOは登山しないことを意味する．ただし，天気の条件は晴，曇，雨，気温の条件は高，中，低，山の高さの条件は$1000\mathrm{m}$未満，$1000\mathrm{m}$以上$2000\mathrm{m}$未満，$2000\mathrm{m}$以上を考えている．

(1)　天気と気温と山の高さの条件のすべての組合せは，$\boxed{\text{ア}}$通りある．従って決め方の組合せは，$\boxed{\text{イ}}$の$\boxed{\text{ア}}$乗通りである．

(2)　図２は表１の決め方を満たすように，登山するか，しないかを決めるための決定木と呼ばれるものである．例えば，気温が低ければ登山せず，気温が高くて天気が晴であれば登山することになる．決定木の空欄$\boxed{\text{ウ}}\text{，}\boxed{\text{エ}}\text{，}\boxed{\text{オ}}$がYESかNOか考え，YESであれば，対応する解答欄に1をNOであれば，0を埋めなさい．

(3)　もし表３のような新たな判断基準を加えたいときは，図２の決定木の$\boxed{\text{カ}}$番の番号が付いた箱の部分を図４の$\boxed{\text{キ}}$番の枝で置き換えればよい．

【５】　右図の様に全部で$9$つの水槽があり，それらの間で矢印が示すように水が移動している．矢印がなければ水の移動はないものとする．第$1$の水槽からは毎秒$12l$の水が湧き出ており，どこからも水は流入していない．第$5$の水槽に流入した水はすべて排水される．ほかの$7$つの水槽には水は同量，流入流出している．矢印に付いた分数は，ひとつの水槽から他の水槽への流出量をその水槽からの全流出量に体する比率で表したものである．たとえば，第$3$の水槽から第$7$の水槽への流出量は第$3$の水槽からの全流出量の${\displaystyle \frac{1}{5}}$となっている．このとき，第$4$の水槽から第$7$の水槽への流出量はその水槽の全流出量の${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．さて，第$6$の水槽に注目しよう．この水槽から第$2$の水槽への水の流出量は毎秒$\boxed{\text{ウ}}l$であり，第$7$の水槽からの流入量は毎秒$\boxed{\text{エ}}l\text{，}$そして第$9$の水槽からの流入量は毎秒$\boxed{\text{オ}}l$である．