1999　慶応義塾大学　環境情報学部MathJax

【１】

(1)　四角形$\mathrm{ABCD}$は$\mathrm{AB}=4\text{，}\mathrm{BC}=4\text{，}\mathrm{CD}=5\text{，}\mathrm{DA}=9$であり，点$\mathrm{O}$を中心とする円に内接している．このとき

$\mathrm{BD}=\sqrt{\boxed{\text{ア}}}\text{，}\mathrm{AC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}}}$

である．

【１】

(2)　年利（複利）$5\mathrm{\%}$の固定利率で$100$万円を預金した．$n$年後の預金は，

$100\times {\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{100}}\right)}^n$万円

となる．このとき，$\boxed{\text{オ}}$年後に利子は$150$万円以上になる．

（注：${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{3}3=0.4771\text{，}{\log }_{10}7=0.8451$）

【１】

(3)　一辺が$x$軸に平行な長方形で，方程式${\displaystyle \frac{x^2}{16}}+y^2=1$で表される図形（楕円）に内接するもの全体のなかで，最大の面積をもつ長方形の面積は$\boxed{\text{カ}}$である．

【２】　$y=-x^2+ax+b$で表される放物線の全体の中で，点$(-1,1)$を通り，直線$l:y=-x+6$と接するものは$2$つある．このとき，$a=\boxed{\text{ア}}\pm \boxed{\text{イ}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$であり，接点の$x$座標は$\boxed{\text{エ}}\pm \boxed{\text{オ}}\sqrt{\boxed{\text{カ}}}$となる．この$2$つの放物線と直線$l$で囲まれる領域の面積は$\boxed{\text{キ}}\sqrt{\boxed{\text{ク}}}$である．

【３−１】　同じ数字が$3$度以上連続しないように，$0\text{，}1\text{，}2$を重複を許して$n$個一列に並べて得られる順列の数を$f(n)$とする．以下で$f(n)$を計算する規則を求める．

(1)　$f(1)=3$である．

(2)　$f(2)=\boxed{\text{イ}}$である．

(3)　$n\geqq 3$のとき，上のような順列の中で先頭の数字が$0$の順列の数を$g(n)$とし，先頭とそのつぎの数字が$00\text{，}01$の順列の数をそれぞれ$a(n)\text{，}b(n)$とする．$n\geqq 5$のとき，

$f(n)=\boxed{\text{ウ}}g(n)$

$g(n)=\boxed{\text{エ}}a(n)+\boxed{\text{オ}}b(n)$

$a(n)=\boxed{\text{カ}}g(n-\boxed{\text{キ}})$

$b(n)=\boxed{\text{ク}}g(n-\boxed{\text{ケ}})$

これより，

$f(n)=2f(n-1)+\boxed{\text{コ}}f(n-2)$

を得る．

(4)　$f(4)=\boxed{\text{サ}}$である．

【３−２】　以下の空欄に適切な解答を，最後の選択肢から選びその番号を解答欄に記入しなさい．

　$N$進数

$a_r{a}_{r-1}\cdots a_2{a}_1{a}_0\text{（}0\leqq a_i\leqq N-1\text{，}i=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}r\text{）}$

は，

$a_r\times N^r+a_{r-1}\times N^{r-1}+\cdots +a_2\times N^2+a_1\times N+a_0$

を表している．例えば，$2$進数$11011100$は$10$進数の$\boxed{\text{シ}}$であり，$10$進数の$65$は$5$進数の$\boxed{\text{ス}}$である．自然数$M$が上のように$N$進数で$a_r{a}_{r-1}\cdots a_2{a}_1{a}_0$と表されたとき，$a_r\ne 0$であれば$N^r\leqq M<N^{r+1}$であり，$M$を$N^r$で割ったときの商は$a_r\text{，}$余りは$N$進数で$a_{r-1}\cdots a_2{a}_1{a}_0$となる．

　次のプログラムは，自然数$M$と$N\text{（}2\leqq N\leqq 10\text{）}$を入力し，$M$を$N$進数に変換するものである．上述の事実を参考にプログラムを完成させなさい．ただし，行 220 は改行を実行する PRINT 文であり，行 180 の INT は，INT(X) により，X を超えない最大の整数を表す．

• 100 REM 10 進数から N 進数への変換
• 110 INPUT "M = " ; M
• 120 INPUT "N = " ; N
• 130 K = N
• 140 IF K > $\boxed{\text{セ}}$ THEN GOTO 170
• 150 K = K * N
• 160 GOTO $\boxed{\text{ソ}}$
• 170 K = K / $\boxed{\text{タ}}$
• 180 Q = INT ( $\boxed{\text{チ}}$ / $\boxed{\text{ツ}}$ )
• 190 M = $\boxed{\text{テ}}$ - Q * $\boxed{\text{ト}}$
• 200 PRINT Q ;
• 210 IF K > $\boxed{\text{ナ}}$ THEN GOTO $\boxed{\text{ニ}}$
• 220 PRINT
• 230 END

選択肢

• (11)　$0$
• (12)　$1$
• (13)　$130$
• (14)　$140$
• (15)　$150$
• (16)　$160$
• (17)　$170$
• (18)　$180$
• (19)　$190$
• (20)　$200$
• (21)　$210$
• (22)　$220$
• (23)　$230$
• (24)　M
• (25)　N
• (26)　K
• (27)　Q
• (28)　R

【４】　数当てゲームをします．$\mathrm{B}$さんは$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$のいずれかの数字を紙に書き$\mathrm{A}$さんに見えないように隠します．$\mathrm{A}$さんは$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$のいずれかが紙に書かれていることを知っているとして，その数を当てます．このとき，$\mathrm{A}$さんは，「その数は$\cdots$未満ですか？」という質問を繰り返すことができ，$\mathrm{B}$さんはYESまたはNOを正しく答えなければなりません．

　例えば，$\mathrm{B}$さんが$2$を紙に書いて隠したとします．

$\mathrm{A}$：「その数は$2$未満ですか？」

$\mathrm{B}$：「NO」

$\mathrm{A}$：「その数は$3$未満ですか？」

$\mathrm{B}$：「YES」

$\mathrm{A}$：「ではその数は$2$ですね」

といった具合に数当てをします．このとき$\mathrm{A}$さんは$2$回の質問で正解を得ることができました．$\mathrm{A}$さんが正解を得た後に，再び$\mathrm{B}$さんは新しい数を紙に書き，数当てを繰り返します．

　このとき，以下の質問に答えなさい．

(1)　$\mathrm{B}$さんが$1$から$4$までの数を等しい確率で紙に書くことを$\mathrm{A}$さんが知っているとします．このとき$\mathrm{A}$さんの質問回数の期待値を最小にするには，はじめに「その数は$\boxed{\text{ア}}$未満ですか？」の質問をすればよい．もしその答えがYESであれば，次の質問を「その数は$\boxed{\text{イ}}$未満ですか？」とし，NOであれば，「その数は$\boxed{\text{ウ}}$未満ですか？」とすればよい．このときの$\mathrm{A}$さんの質問回数の期待値は$\boxed{\text{エ}}$回となる．

(2)　$\mathrm{B}$さんが， $1$を${\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}2$を${\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}3$および$4$を${\displaystyle \frac{1}{8}}\text{，}$の確率で紙に書くことを$\mathrm{A}$さんは知っているとします．このとき$\mathrm{A}$さんの質問回数の期待値を最小にするには，はじめに「その数は$\boxed{\text{オ}}$未満ですか？」の質問をすればよい．もしその答がNOであれば，次の質問を「その数は$\boxed{\text{カ}}$未満ですか？」とする．このときの$\mathrm{A}$さんの質問回数の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$回となる．

(3)　$\mathrm{A}$さんは設問(1)，(2)において$\mathrm{B}$さんの$4$つの数字を紙に書く確率を知っていました．このとき，$\mathrm{A}$さんが$\mathrm{B}$さんの数を当てる手間を省くという意味で，どちらの確率の情報が$\mathrm{A}$さんにとって価値のある情報でしたか？設問の番号を$\boxed{\text{ケ}}$に入れなさい．

【５】　座標平面上を$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が，それぞれ，$\mathrm{O}$（原点），$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を中心とし，半径$1$の円周上を毎秒$1$回転で逆時計回りに回転している．あるとき$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が，それぞれ，$(1,0)\text{，}(2,0)\text{，}(3,0)$のように$x$軸上に並んだ．このときの時刻を$t_0$とする．

(1)　$t_0$から$t$秒後の$\mathrm{A}$の座標を

$(\cos (360\mathrm{°}t),(\sin (360\mathrm{°}t))$

とすると，このとき$\mathrm{B}$の座標は

$(\cos (360°t)+\cos (360\mathrm{°}\times \boxed{\text{ア}}t),\sin (360\mathrm{°}t)+\sin (360\mathrm{°}\times \boxed{\text{イ}}t))$

である．従って，$\mathrm{B}$は$t_0$から${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$秒後にはじめて$\mathrm{O}$に達する．

(2)　$t_0$から$t$秒後の$\mathrm{C}$の座標は

$\begin{array}{l}(\cos (360°t)+\cos (360\mathrm{°}\times \boxed{\text{ア}}t)+\cos (360\mathrm{°}\times \boxed{\text{オ}}t),\\ \sin (360\mathrm{°}t)+\sin (360\mathrm{°}\times \boxed{\text{イ}}t)+\sin (360\mathrm{°}\times \boxed{\text{カ}}t))\end{array}$

であり，$\mathrm{C}$は$t_0$から${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$秒後にはじめて$\mathrm{O}$に達する．

(3)　$\mathrm{C}$は$t_0$から${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$秒後にはじめて$(-1,0)$に達し，再びこの点に到達するのは$t_0$から${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$秒後である．