1999　上智大学　文，法学部2月9日実施MathJax

【１】　座標平面に$3$直線

$\begin{array}{llll}3x+y+2& =& 0& \text{(1)}\\ x+2y-6& =& 0& \text{(2)}\\ x-3y+4& =& 0& \text{(3)}\end{array}$

が与えられている．直線(1)と直線(2)の交点を$\mathrm{A}\text{，}$直線(1)と直線(3)の交点を$\mathrm{B}\text{，}$直線(2)と直線(3)の交点を$\mathrm{C}$とする．このとき，

$\mathrm{A}(\boxed{\text{ア}},\boxed{\text{イ}})\text{，}\mathrm{B}(\boxed{\text{ウ}},\boxed{\text{エ}})\text{，}\mathrm{C}(\boxed{\text{オ}},\boxed{\text{カ}})$

であり，$\angle \mathrm{ABC}=\boxed{\text{キ}}\mathrm{°}$である．$\angle \mathrm{ABC}$を$2$等分する直線を$l$とすると$l$の方程式は

$\boxed{\text{ク}}x+\boxed{\text{ケ}}y+3=0$

である．$l$上の点$\mathrm{P}$から辺$\mathrm{AB}\text{，}$および辺$\mathrm{AC}$へ下ろした$2$つの垂線の長さが等しいとすると

$▵\mathrm{ABC}\text{の面積}:▵\mathrm{ABP}\text{の面積}=1:{\displaystyle \frac{1}{2}}(\boxed{\text{コ}}+\boxed{\text{サ}}\sqrt{\boxed{\text{シ}}})$

である．

【２】　$p\text{，}q\text{，}r\text{，}s$を非負（正あるいは$0$）の整数とする．

(1)　$n$を与えられた非負の整数とする．このとき$3^p{(-3)}^q=3^n$をみたす$p\text{，}q$の組は$n$が奇数のときは全部で${\displaystyle \frac{1}{2}}(\boxed{\text{ス}}n+\boxed{\text{セ}})$個あり，$n$が偶数のときは全部で${\displaystyle \frac{1}{2}}(\boxed{\text{ソ}}n+\boxed{\text{タ}})$個ある．また$3^p{(-3)}^q=-3^n$をみたす$p\text{，}q$の組は$n$が奇数のときは全部で${\displaystyle \frac{1}{2}}(\boxed{\text{チ}}n+\boxed{\text{ツ}})$個あり，$n$が偶数のときは全部で${\displaystyle \frac{1}{2}}(\boxed{\text{テ}}n+\boxed{\text{ト}})$個ある．

(2)　$n$を与えられた非負の整数とする．このとき${(\sqrt{3})}^r{(-\sqrt{3})}^s=3^n$をみたす$r\text{，}s$の組は全部で$(\boxed{\text{ナ}}n+\boxed{\text{ニ}})$個あり，また${(\sqrt{3})}^r{(-\sqrt{3})}^s=-3^n$をみたす$r\text{，}s$の組は全部で$(\boxed{\text{ヌ}}n+\boxed{\text{ネ}})$個ある．

(3)　$3^p{(-3)}^q{(\sqrt{3})}^r{(-\sqrt{3})}^s=27$をみたす$p\text{，}q\text{，}r\text{，}s$の組は全部で$\boxed{\text{ノ}}$個ある．

【３】　座標平面の点$\mathrm{P}(p,q)$から放物線$C:y=x^2$へ引いた$2$本の接線の接点をそれぞれ$\mathrm{A}(a,a^2)\text{，}\mathrm{B}(b,b^2)$とする．ただし$a<b$とする．$2$直線$\mathrm{PA}\text{，}\mathrm{PB}$と放物線$C$とで囲まれる部分の面積を$S$とする．

(1)　$p\text{，}q$を$a\text{，}b$を使って表すと，

$p={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}a+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}b\text{，}q=\boxed{\text{ホ}}ab+\boxed{\text{マ}}$

である．

(2)　$S=18$をみたしながら点$\mathrm{P}$が動くとき，その軌跡の方程式は

$y=\boxed{\text{ミ}}{x}^2+\boxed{\text{ム}}x+\boxed{\text{メ}}$

である．