1999　上智大学　文(心理)学部2月10日実施MathJax

【１】　$3$次関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$は$x=1$で極小値，$x=\alpha$で極大値をとる．

(1)　このとき

$f^{\prime }(x)=3x^2+(\boxed{\text{ア}}\alpha +\boxed{\text{イ}})x+\boxed{\text{ウ}}\alpha$

である．

(2)　$f(x)=0\text{，}f(\alpha )=4$とすると$a=\boxed{\text{エ}}\text{，}b=\boxed{\text{オ}}\text{，}c=\boxed{\text{カ}}$であり，$\alpha =\boxed{\text{キ}}$である．

【２】　座標平面内の円

$C:x^2+y^2=1$

を考える．

(1)　点$(12,5)$と円$C$上の点を結ぶ線分の長さの最小値を与える$C$上の点の座標は$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}})$である．

(2)　直線$l:3x+4y=10$上の点と円$C$上の点を結ぶ線分の長さの最小値は$\boxed{\text{シ}}$であり，それを与える$l$上の点の座標は$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}})$である．

(3)　放物線$C_1:y=-x^2+{\displaystyle \frac{37}{4}}$上の点と円$C$上の点を結ぶ線分の長さの最小値は$\boxed{\text{チ}}$であり，それを与える$C_1$上の点の$y$座標は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}$である．

【３】　箱の中に青玉，黄玉，赤玉が，それぞれ$2$個，$1$個，$2$個入っている．次のような規則で箱の中から玉を取り出す試行を行なう．

・青玉を取り出したときは，箱にもどさず手元におく．

・黄玉を取り出したときは，そのまま箱にもどす．

・赤玉を取り出したときは，手元に青玉がなければそのまま手元におき，手元に青玉があれば青玉$1$個とともに箱にもどす．

手元に玉がない状態で試行を始める．

(1)　玉を青，黄，赤の順に取り出す確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$である．

(2)　玉を黄，黄，青の順に取り出す確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$である．

(3)　$3$回の試行の後，手元に玉が$3$個ある確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$である．

(4)　$3$回の試行の後，手元に玉が$2$個ある確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}$である．