1999　上智大学　経済(経営)学部2月10日実施MathJax

【１】　$f(x)=x^3-x^2+ax+b$とおく．$2$次方程式

$x^2+cx+1=0$

は，異なる$2$つの実数解$\alpha \text{，}\beta$をもち，これらは$f(\alpha )=f(\beta )=0$をみたす．さらに，$3$次関数$y=f(x)$が$x=-1$で極値をとるならば，

$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}b=\boxed{\text{イ}}\text{，}c=\boxed{\text{ウ}}$

であり，$f(x)=0$の$\alpha \text{，}\beta$以外の解は$\boxed{\text{エ}}$である．またこのとき，$f(x)$は$x=-1$で$\boxed{\text{あ}}$になる．

極値を与えるもう$1$つの点は$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$である．

ただし，$\boxed{\text{あ}}$には次の選択肢より正しいものを選んで番号を答えよ．

• 選択肢：
• (1)　極大
• (2)　極小

【２】　座標空間の点$(x,y,z)$で座標がすべて整数であるもの全体の集合を$L\text{，}$正の整数$k$に対して，原点$\mathrm{O}$からの距離が$\sqrt{k}$である点全体の集合を$S_k$とする．$A_k=L\cap S_k$とする．

(1)　$\mathrm{P}(1,1,0)\text{，}\mathrm{Q}(0,1,1)\text{，}\mathrm{R}(1,0,1)$は$A_2$の$3$点である．三角形$\mathrm{PQR}$の面積は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{キ}}}}{\boxed{\text{ク}}}}$である．また三角錐$\mathrm{OPQR}$の体積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$である．

(2)　$A_k$の要素の数を$n_k$とすれば，

$n_1=\boxed{\text{サ}}\text{，}{n}_2=\boxed{\text{シ}}\text{，}{n}_6=\boxed{\text{ス}}\text{，}{n}_7=\boxed{\text{セ}}$

である．

(3)　$A_2$の点の$\mathrm{O}$に関する位置ベクトル全体の集合を$B$とする．$B$に属するどのベクトルとの内積もすべて整数であるベクトル全体の集合を$C$とする．零ベクトル$\overrightarrow{0}$以外の$C$の要素で大きさが最小なものは全部で$\boxed{\text{ソ}}$個存在し，それらの大きさは${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{タ}}}}{\boxed{\text{チ}}}}$である．

【３】　放物線$C:y=x^2$を考える．$t>0$に対して，直線$l:x=t$と$C$の交点を$\mathrm{P}(t,t^2)$とする．$\mathrm{P}$における$C$の接線と直交し，$\mathrm{P}$を通る直線を$k$とする．

(1)　直線$k$の方程式は，

$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}x+t^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$

である．

(2)　直線$k$に関して点$(t,0)$と対称な点の座標は，

$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}{t}^3+\boxed{\text{ヌ}}t}{\boxed{\text{ネ}}{t}^2+1}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}{t}^4}{\boxed{\text{ハ}}{t}^2+1}})$

である．

(3)　直線$k$に関して直線$l$と対称な直線を$m$とする．$m$の傾きは${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}{t}^2-1}{\boxed{\text{フ}}t}}$である．

(4)　$m$と$C$の交点のうち，$\mathrm{P}$以外の点$\mathrm{Q}$の座標は

$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}{\displaystyle \frac{1}{t}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}}}}{\displaystyle \frac{1}{t^2}})$

である．