1999　上智大学　理工(数・物・電)学部2月13日実施MathJax

【１】　放物線$y={\displaystyle \frac{1}{15}}{x}^2$を$y$軸のまわりに回転させてできる面を内壁とする容器を考える．そこに水を入れるとき，$y$軸は水面にいつも垂直であるとする．$x$軸と$y$軸の長さの単位を$\mathrm{cm}$とする．

(1)　空の容器に$3{\mathrm{cm}}^3/\text{秒}$の割合で水を入れる．水を入れ始めてから$10$秒後における水面の上昇する速度は${\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ア}}\sqrt{\pi }}}\mathrm{cm}/\text{秒}$である．

(2)　容器を空にして，半径$b\mathrm{cm}\text{（}b>0\text{）}$の鉄球をこの容器に入れる．この鉄球が容器に最下点だけで接する必要十分条件は$0<b\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{2}}$である．

(3)　$b=4\text{（}\mathrm{cm}\text{）}$とする．鉄球を入れたまま$3{\mathrm{cm}}^3/\text{秒}$の割合で再び水を入れる．$0\leqq y\leqq 8$の範囲で水深が$y\mathrm{cm}$になるとき，水面の上昇する速度は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\pi y(y+\boxed{\text{エ}})}}\mathrm{cm}/\text{秒}$であり，加速度は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{{\pi }^2}}{\displaystyle \frac{(\boxed{\text{カ}}y+\boxed{\text{エ}})}{y^{\boxed{\text{キ}}}{(y+\boxed{\text{エ}})}^{\boxed{\text{ク}}}}}\mathrm{cm}/{\text{秒}}^2$である． ただし鉄球は動かないものとする．

【２】(1)　${(1+\boxed{\text{ケ}}i)}^4=\boxed{\text{コ}}-24i$が成り立つ．ただし$\boxed{\text{ケ}}\text{，}\boxed{\text{コ}}$は整数であり，$i$は虚数単位である．

(2)　$x^4+4x^3+10x^2+12x+8=0$の複素数解の中で絶対値の最大値は$\boxed{\text{サ}}$であり，最小値は$\sqrt{\boxed{\text{シ}}}$である．解の複素数の偏角$\arg x\text{（}0\mathrm{°}\leqq \arg x<360\mathrm{°}\text{）}$をラジアンで表すと，その最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}\pi$である．

(3)　複素数平面上の$3$点$z_1=-1+2i\text{，}{z}_2=3i\text{，}{z}_3=-2+5i$を頂点とする三角形を，複素数$\alpha$をかけることによって移動し，$w_1=1+i\text{，}{w}_2=5\text{，}{w}_3=5+5i\text{，}{w}_4=2+4i$を頂点とする四角形と共有点をもつようにする．このような複素数$\alpha$の中で絶対値の最大値は$\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}$であり，最小値は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{タ}}}}{\boxed{\text{チ}}}}$である．また偏角$\arg \alpha \text{（}0\mathrm{°}\leqq \arg \alpha <360\mathrm{°}\text{）}$の最大値を$\theta \text{，}$最小値を$\phi$とすると

$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}\sqrt{\boxed{\text{テ}}}}{\boxed{\text{ト}}}}\text{，}\cos \phi ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$

である．

【３】　方程式

${\displaystyle \frac{1}{n_1}}+{\displaystyle \frac{1}{n_2}}+{\displaystyle \frac{1}{n_3}}+{\displaystyle \frac{1}{n_4}}=1$

をみたす正整数の組$(n_1,n_2,n_3,n_4)$（ただし，$n_1\leqq n_2\leqq n_3\leqq n_4$）をすべて決定しよう．

　まず，$n_1$の最小値は$\boxed{\text{ネ}}$であり最大値は$\boxed{\text{ノ}}$である．

　$n_1=\boxed{\text{ネ}}$のとき，$n_2$の最小値は$\boxed{\text{ハ}}$であり最大値は$\boxed{\text{ヒ}}$である．

　$(n_1,n_2)=(\boxed{\text{ネ}},\boxed{\text{ハ}})$のとき，条件をみたす$(n_3,n_4)$の組は$\boxed{\text{フ}}$組あり，$(n_1,n_2)=(\boxed{\text{ネ}},\boxed{\text{ハ}}+1)$のときは$\boxed{\text{ヘ}}$組ある．

　こうして数えていくと，結局全部で$\boxed{\text{ホ}}$組の解があることがわかる．

【４】　放物線$y=x^2$の点$\mathrm{P}(1,1)$での接線と点$\mathrm{P}$で直交する直線を$l$とする．$l$は$y$軸と$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}}}}$で交わり，放物線とは点$\mathrm{P}$以外に$x=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ム}}}{\boxed{\text{メ}}}}$のとき交わる．$l$と放物線とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体を$G$とする．回転体$G$の$x\geqq 0$の部分の体積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{モ}}}{\boxed{\text{ヤ}}}}\pi$である．回転体$G$をさらに$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ユ}}}{\boxed{\text{ヨ}}}}\pi$である．

【４】　右の図のように原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円に対し，長さ$1$の線分$\mathrm{AB}$が，$y$軸に平行で，かつ，線分$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{C}$が常に円周上にあるように動くとする．点$\mathrm{C}$が円周上を一周したとき，線分$\mathrm{AB}$が通過してできる図形を$F$とする．

(1)　図形$F$を描け．

(2)　点$\mathrm{B}$の軌跡が$x$軸と交わる点の座標を求めよ．

(3)　図形$F$の面積を求めよ．

(4)　点$\mathrm{Q}=(1,-{\displaystyle \frac{1}{2}})$とする．線分$\mathrm{PQ}$上の点がすべて図形$F$に含まれるように点$\mathrm{P}$を選んだとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値を求めよ．