1999 上智大学 理工(数)学部2月13日実施MathJax

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1999 上智大学 理工学部

数学科

2月13日実施

易□ 並□ 難□

【1】 漸化式

a1= 4 an +1= 3a n2+ 4an +3 n =1 2

で定まる整数列 { an } を考える.

(1)  an- 4 7 で割り切れることを証明せよ.

(2)  an 2+a n+1 7 n で割り切れることを証明せよ.

(3) 正整数 p について, an 3p 7 n で割った余りを求めよ.

1999 上智大学 理工学部

数学科

2月13日実施

易□ 並□ 難□

【2】 関数 y= f( x) は連続とする.

(1)  a を実数の定数とする.すべての実数 x に対して不等式

|f (x )-f (a )| 23 | x-a |

が成り立つなら,曲線 y= f( x) は直線 y= x と必ず交わることを中間値の定理を用いて証明せよ.

(2) さらに,すべての実数 x 1 x2 に対して

|f ( x1) -f( x2) | 23 | x1- x2 |

が成り立つならば,(1)の交点はただひとつしかないことを証明せよ.

1999 上智大学 理工学部

数学科

2月13日実施

易□ 並□ 難□

【3】  y=x2 によって定まる xy 平面上の放物線を C とする. C 上にない点 P C 上の 2 Q R について, QPR は直角,線分 PQ は点 Q C の接線と直交し,線分 PR は点 R C の接線と直交しているとする.

(1) 点 Q R C 上を動くときにできる点 P の軌跡の方程式を求めよ.

(2) 点 Q の座標を (a ,a2 ) とし, a>0 とする.三角形 PQR の面積を S (a ) とおく. S( a) を求めよ.

(3) 点 Q C 上を動くとき,三角形 PQR の面積の最小値を求めよ.

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