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1999-13363-0901
1999 上智大学 理工学部
数学科
2月13日実施
易□ 並□ 難□
【1】 漸化式
a1= 4 ,an +1= 3⁢a n2+ 4⁢an +3 (n =1 ,2 ,⋯ )
で定まる整数列 { an } を考える.
(1) an- 4 が 7 で割り切れることを証明せよ.
(2) an 2+a n+1 が 7 n で割り切れることを証明せよ.
(3) 正整数 p について, an 3⁢p を 7 n で割った余りを求めよ.
1999-13363-0902
【2】 関数 y= f⁡( x) は連続とする.
(1) a を実数の定数とする.すべての実数 x に対して不等式
|f ⁡(x )-f ⁡(a )| ≦ 23⁢ | x-a |
が成り立つなら,曲線 y= f⁡( x) は直線 y= x と必ず交わることを中間値の定理を用いて証明せよ.
(2) さらに,すべての実数 x 1 ,x2 に対して
|f ⁡( x1) -f⁡( x2) |≦ 23 ⁢| x1- x2 |
が成り立つならば,(1)の交点はただひとつしかないことを証明せよ.
1999-13363-0903
【3】 y=x2 によって定まる xy 平面上の放物線を C とする. C 上にない点 P , C 上の 2 点 Q , R について, ∠QPR は直角,線分 PQ は点 Q で C の接線と直交し,線分 PR は点 R で C の接線と直交しているとする.
(1) 点 Q , R が C 上を動くときにできる点 P の軌跡の方程式を求めよ.
(2) 点 Q の座標を (a ,a2 ) とし, a>0 とする.三角形 PQR の面積を S⁡ (a ) とおく. S⁡( a) を求めよ.
(3) 点 Q が C 上を動くとき,三角形 PQR の面積の最小値を求めよ.