1999　東京理科大学　経営学部B方式2月3日実施MathJax

【１】　次の問題(1)，(2)において，空欄に当てはまる負でない整数を求め，(ア)から(セ)までのそれぞれに適する$0$から$9$までの数を解答用マークカードにマークせよ．

(1)　$a+b+c+d=10$を満たす$0$以上の整数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$のすべての組のうち，

(a)　$a+b=1$であるのは$\boxed{\text{(ア)}\text{(イ)}}$組ある．

(b)　$a+b=c+d$であるのは$\boxed{\text{(ウ)}\text{(エ)}}$組ある．

(c)　$a+b+c=5$であるのは$\boxed{\text{(オ)}\text{(カ)}}$組ある．

【１】　次の問題(1)，(2)において，空欄に当てはまる負でない整数を求め，(ア)から(セ)までのそれぞれに適する$0$から$9$までの数を解答用マークカードにマークせよ．

(2)　三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:3$の比に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$1:3$の比に外分する点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$を延長し，辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{R}$とする．

　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とすると

(a)　$\overrightarrow{\mathrm{QP}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(キ)}}}{\boxed{\text{(ク)}}}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(ケ)}}}{\boxed{\text{(コ)}}}}\overrightarrow{b}$である．

(b)　$\overrightarrow{\mathrm{OR}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(サ)}}}{\boxed{\text{(シ)}}}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(ス)}}}{\boxed{\text{(セ)}}}}\overrightarrow{b}$である．

【２】　区間$[0,4]$で定義された関数

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}(t^2-4t+8)dt+C{\displaystyle {\int }_0^{4-x}}(-t+4)dt$

が$x=2$のとき極値をとるという．

(1)　$C$の値を求めよ．

(2)　この区間での$f(x)$の最大値と最小値の比を求めよ．

【３】　$2$次方程式$x^2-mx+3m-5=0$が整数の解だけをもつように，整数$m$の値をすべて求めよ．

【２】　$f(x)=x\log x\text{（}x>0\text{）}$に対し以下に答えよ．なお，必要ならば結果

$\underset{x\to 0}{\lim }x\log x=0$

を使ってよい．ただし，$\log$は自然対数，$e$は自然対数の底である．

(1)　曲線$C:y=f(x)$の増減と凹凸と調べ，$C$の概形を描け．

(2)　次の積分

${\displaystyle {\int }_1^e}f(t)dt$

の値を求めよ．

(3)　$C$上の点$(e,e)$における$C$の接線，$x$軸および$C$とで囲まれる面積を求めよ．

【１】　$xy$平面において，方程式

$|x+2y|+|3x-2y|=4$

が表すグラフを$C$とする．

(1)　$C$の概形を描け．

(2)　点$(x,y)$が$C$上を動くとき

$\sqrt{x^2+y^2}$

の最大値，最小値を求めよ．

【２】　$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$とする．実数$a\text{，}t\text{（}t>0\text{）}$について，

$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{a}{2}}& -3\\ 3& -a\end{array}\right)\text{，}B=A+tE$

とする．

(1)　$B^2=O$を満たす$a\text{，}t$を求めよ．

(2)　(1)の結果として得られる行列$A\text{，}B$について，$A^3$を$B$と$E$を用いて簡単に表せ．

(3)　$A^{10}$を求めよ．

【３】　$2$つのサイコロ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$をそれぞれ$n$回投げ，$k$回目に出た$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$それぞれのサイコロの目を$a_k\text{，}{b}_k$とする．$|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+\cdots +|a_n-b_n|$が$0$を除く偶数になる確率を$P_n$とする．

(1)　$P_1$と$P_2$をそれぞれ求めよ．

(2)　$P_n$を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{P}_n$を求めよ．