1999　東京理科大学　理工学部B方式2月4日実施MathJax

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ヤ}}$までに当てはまる数字$0$〜$9$を求めて，解答用マークカードの指定された欄にマークしなさい．

(1)　$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上において，$2$点$\mathrm{A}(0,4)\text{，}\mathrm{B}(3,0)$をとる．線分$\mathrm{AB}$を$t:1-t$に内分する点$\mathrm{P}$の座標は$(\boxed{\text{ア}}t,-\boxed{\text{イ}}t+\boxed{\text{ウ}})$である．$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とし，線分$\mathrm{PH}$上に点$\mathrm{Q}$を$▵\mathrm{QPO}$の面積と$▵\mathrm{QHB}$の面積が等しくなるようにとる．

　$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，点$\mathrm{Q}$は曲線

$y=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}{x}^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}x\text{（}0<x<3\text{）}$

の上を動く．

　また$▵\mathrm{QOH}$の面積が最大となるのは，$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$のときであり，このとき点$\mathrm{Q}$の座標は$(\boxed{\text{コ}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}})$である．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ヤ}}$までに当てはまる数字$0$〜$9$を求めて，解答用マークカードの指定された欄にマークしなさい．

(2)　$1$個のサイコロを$3$回続けて投げて出た目の数を順に$a\text{，}b\text{，}c$とするとき，$2$次方程式$x^2-(a-b)x+c=0$を考える．

(a)　$x=3$が，この方程式の解となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}\text{ソ}}}}$である．

(b)　この方程式が重解をもつ確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}\text{ツ}}}}$である．

(c)　この方程式が実数解をもたない確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$である．

【１】　次の文章の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ヤ}}$までに当てはまる数字$0$〜$9$を求めて，解答用マークカードの指定された欄にマークしなさい．

(3)　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，点$\mathrm{A}(0,1,1)\text{，}\mathrm{B}(1,0,1)\text{，}\mathrm{P}(-5,2,3)$をとり，$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る平面を$\alpha$とする．平面$\alpha$上の点$\mathrm{H}$の位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$（$s\text{，}t$は実数）と表すとき，

$\overrightarrow{\mathrm{PH}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\boxed{\text{ナ}}s+\boxed{\text{ニ}}t-\boxed{\text{ヌ}}$

$\overrightarrow{\mathrm{PH}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\boxed{\text{ネ}}s+\boxed{\text{ノ}}t+\boxed{\text{ハ}}$

である．$\overrightarrow{\mathrm{PH}}$が平面$\alpha$と垂直であるとき，$s=\boxed{\text{ヒ}}\text{，}t=-\boxed{\text{フ}}$となる．したがって，$\alpha$上の点のうち点$\mathrm{P}$に最も近い点の座標は$(-\boxed{\text{ヘ}},\boxed{\text{ホ}},\boxed{\text{マ}})$であり，$\mathrm{P}$とその点との距離は$\boxed{\text{ミ}}\sqrt{\boxed{\text{ム}}}$である．また平面$\alpha$に関して$\mathrm{P}$と対称な点の座標は$(-\boxed{\text{メ}},\boxed{\text{モ}},-\boxed{\text{ヤ}})$である．

【２】　$f(x)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}$とし，曲線$y=f(x)$上に$2$点$\mathrm{P}(a,f(a))\text{，}\mathrm{Q}(b,f(b))$をとる．ただし，$a<0<b$であるものとする．点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$における$y=f(x)$の接線をそれぞれ$l_1\text{，}{l}_2$とし，直線$l_1$と$l_2$の交点を$\mathrm{A}\text{，}$三角形$\mathrm{AQP}$の面積を$S$とする．

(1)　直線$l_2$の方程式，および，点$\mathrm{P}$と直線$l_2$との距離を$a\text{，}b$を用いて表せ．

　以下，直線$l_1$と直線$l_2$は直交しているものとする．

(2)　$S$を$b$を用いて表せ．

(3)　$b$が$0<b$の範囲を動くとき，$S$の最小値とそのときの$b$の値を求めよ．

【３】　$K$を定数とし，$f(x)$は次の条件を満たす関数とする．

$f(2x)={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f(t)dt+Kx\cos x$

$f^{\prime }(\pi )=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

(1)　定数$K$の値を求めよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}x\cos {\displaystyle \frac{x}{2}}dx$の値を求めよ．

(3)　関数$f(x)$を求めよ．