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1999-13442-0301
1999 東京理科大学 理工学部B方式
物理,生命科,経営工学科
2月5日実施
(1)〜(3)で配点40点
易□ 並□ 難□
【1】 次の文章中の ア から ヘ までに当てはまる数字 0 〜 9 を求めて,解答用マークカードの指定された欄にマークしなさい.
(1) 右の図のような街路があり,地点 A から地点 B まで遠回りしないで行くものとする.
(a) P と Q を通って行く道順は ア イ 通りある.
(b) P を通らずに Q を通って行く順路は ウ エ 通りある.
(c) P と Q のどちらも通らずに行く道順は オ カ 通りある.
1999-13442-0302
(2) O を原点とする座標空間で, 3 つのベクトル
a→ =(1 ,1,1 ), b→ =(1 ,2,3 ), c→ =(1 ,k,l )
をとり,実数 s , t に対して
OP→ =s⁢a →+ b→ ,OQ→ =t⁢ c→
とする.
(a) OP→ =OQ→ となる s , t が存在するためには
l= キ ⁢ k- ク , k≠ ケ
となることが必要十分である.
(b) 原点 O と点 P の距離が最小になるのは s= - コ のときで,その距離は サ である.
(c) k=-1 , l=0 であるとき, P と Q の距離が最小になるのは s =- シ ,t= - ス セ のときで,その距離は ソ タ である.
1999-13442-0303
(3) 数列 { an} は
a1= 6, an+ 1=1 +6 an ( n= 1, 2, 3, ⋯)
を満たしているとする.このとき,数列 { bn} を
b1= 1, bn+ 1= an⁢ bn ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ )
として定めると, b2= 6 となり,関係式
bn+ 2= チ ⁢ b n+1 + ツ ⁢ bn ( n= 1, 2, 3, ⋯) ⋯(*)
を満たす.いま数列 { cn} を c n=x n-1 ( x≠ 0 ) で定めると, { cn} が { bn } と同じ(*)の関係式を満たすのは x = テ または x =- ト のときである.
α= テ , β=- ト とおくと
bn= ナ ニ ⁢ αn- 1- ヌ ネ ⁢ β n-1
となる.したがって,
an= ノ ⁢ α n- ハ ⁢ βn ヒ ⁢ αn-1 - フ ⁢ β n-1
となり, limn→ ∞⁡ an= ヘ を得る.
1999-13442-0304
配点30点
【2】 放物線 C: y=x2 +2 の上に異なる 2 点 P ( a,a2 +2) ,Q (b ,b2 +2) ( a<b ) をとる.点 P における C の接線と,点 Q における C の接線との交点を R とし, 2 点 P , Q を通る直線と放物線 C で囲まれた図形の面積を S とする.
(1) 点 R の座標を求めよ.
(2) 2 点 P , Q が S を 16 に保って動くとき,点 R はどのような方程式で表される曲線の上を動くか.
(3) 点 R が原点を中心とする半径 1 の円周上を動くとき, S を最大,最小にする R の座標を求めよ.
1999-13442-0305
30点
【3】 xy 平面上の 4 点 (0 ,0) ,(2 ,0) ,( 2,1) ,(0 ,1) を頂点とする長方形を D とし,方程式 y =a⁢x ⁢(x -2) +1 で与えられた下に凸な放物線を C とする.放物線 C の上側と長方形 D との共通部分を y 軸の周りに 1 回転してできる立体の体積を V とする.
(1) 放物線 C の頂点の座標を求めよ.
(2) 体積 V を a を用いて表せ.
(3) V= 289⁢ π となるときの a の値を求めよ.