1999　東京理科大学　理工学部B方式2月6日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ノ}}$までに当てはまる数字$0$〜$9$を求めて，解答用マークカードの指定された欄にマークしなさい．

(1)　複素数平面上に図のような長方形があり，点$\mathrm{A}$を表す複素数が$\sqrt{3}+4\sqrt{3}i\text{，}$点$\mathrm{B}$を表す複素数が$3\sqrt{3}+\sqrt{3}i$であり，$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}=1:\sqrt{3}$であるとする．

　このとき点$\mathrm{C}$を表す複素数は

$(\boxed{\text{ア}}+\boxed{\text{イ}}\sqrt{3})+(\boxed{\text{ウ}}+\boxed{\text{エ}}\sqrt{3})i$

である．また，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とすると，$\mathrm{E}$を表す複素数は

${\displaystyle \frac{1}{2}}(\boxed{\text{オ}}+\boxed{\text{カ}}\sqrt{3})+{\displaystyle \frac{1}{2}}(\boxed{\text{キ}}+\boxed{\text{ク}}\sqrt{3})i$

である．

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ノ}}$までに当てはまる数字$0$〜$9$を求めて，解答用マークカードの指定された欄にマークしなさい．

(2)　$x$についての$2$次方程式

$x^2+(2t+k+1)x+(kt+6)=0$

を考える．

　この$2$次方程式が，$-1\leqq t\leqq 1$となるすべての$t$に対して実数解をもつためには，定数$k$が$k^2+\boxed{\text{ケ}}k-\boxed{\text{コ}\text{サ}}\geqq 0$を満たすこと，すなわち

$k\leqq -\boxed{\text{シ}}$または$\boxed{\text{ス}}\leqq k$

であることが必要十分である．

　また，この$2$次方程式が，$-1\leqq t\leqq 1$となる少なくとも$1$つの$t$に対して実数解をもつためには，定数$k$が$k^2+\boxed{\text{セ}}k-\boxed{\text{ソ}\text{タ}}\geqq 0$を満たすこと，すなわち

$k\leqq -\boxed{\text{チ}}$または$\boxed{\text{ツ}}\leqq k$

であることが必要十分である．

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ノ}}$までに当てはまる数字$0$〜$9$を求めて，解答用マークカードの指定された欄にマークしなさい．

(3)　$1$つのサイコロを$n$回続けて投げて，出た目の数を順に$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$とするとき，

${\displaystyle \frac{a_1}{7}}+{\displaystyle \frac{a_2}{7^2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{a_n}{7^n}}>{\displaystyle \frac{1}{2}}$

となる確率を$p_n$とおく．

$p_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}\text{，}{p}_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}\text{ヌ}}}}$

である．また$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$となる．

【２】　関数$f(x)$はすべての実数で微分可能であり，$f(0)=2$であるとする．

(1)　$f^{\prime }(0)=1$であるとき，次の式が成り立つように定数$a\text{，}b$を定めよ．

$\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{h}}\{f(ah)\cos h-b\}=3$

(2)　すべての実数$x$で

$\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{h}}\{f(x+{\displaystyle \frac{h}{2}})-f(x)\}={\displaystyle \frac{1+x+x^2}{1+x^2}}$

を満たす$f(x)$を求めよ．

(3)　すべての正の実数$t$で

$\underset{h\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{h}}\{f(\log (t+h)-f(\log t)\}=1+\log t$

を満たす$f(x)$を求めよ．

【３】　$f(x)={(1-\sqrt{x})}^2\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$とする．曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(t,f(t))$から$x$軸，$y$軸へ下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とおく．ただし，点$\mathrm{P}$が$x$軸上にあるときは点$\mathrm{Q}$は$\mathrm{P}$を，$y$軸上にあるときは点$\mathrm{R}$は$\mathrm{P}$を表すものとする．

(1)　$t\ne 0$のとき，線分$\mathrm{QR}$を表す式を求めよ．

(2)　$a$を$0<a<1$となる定数とする．線分$\mathrm{QR}$上に$x$座標が$a$であるような点がもし存在すれば，その点の$y$座標を$v$とおく．$t$が$0\leqq t\leqq 1$の範囲を動くとき，$v$がとり得る値の範囲を求めよ．

(3)　$t$が$0\leqq t\leqq 1$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{QR}$が通過してできる領域の面積を求めよ．