1999　東京理科大学　工学部B方式2月8日実施MathJax

【１】　次の(1)，(2)，(3)において，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークカードにマークせよ．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$とする．

(1)　凸$10$角形を考える．この$10$角形の頂点から$3$個の頂点を選んで作られる三角形の個数は$\boxed{\text{ア}\text{イ}\text{ウ}}$である．このうち，もとの$10$角形の辺を辺として持つ三角形の個数は$\boxed{\text{エ}\text{オ}}$である．

　$3$個の頂点を選んで作られる$\boxed{\text{ア}\text{イ}\text{ウ}}$個の三角形からでたらめに相異なる$2$個をとったとき，それらが$1$個以上の頂点を共有する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}\text{キ}}}{\boxed{\text{ケ}\text{コ}}}}$である．

　また，$3$個の頂点を選んで作られる$\boxed{\text{ア}\text{イ}\text{ウ}}$個の三角形からでたらめに相異なる$2$個をとったとき，どちらの三角形ももとの$10$角形の辺を辺として持たない確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}\text{セ}\text{ソ}}}}$である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)において，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークカードにマークせよ．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$とする．

(2)　$3$次方程式

$x^3-x^2+2x+4=0$

について考える．この方程式の虚数解も含めた$3$つの解の絶対値の和は，$\boxed{\text{ア}}$であり，それぞれの解を$3$乗したものの和は，$-\boxed{\text{イ}\text{ウ}}$である．また，虚数解の$1$つを$\alpha$とすると，

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\alpha -\boxed{\text{オ}}}}=\boxed{\text{エ}}-8-\boxed{\text{オ}}\alpha$

が成り立つ．

【１】　次の(1)，(2)，(3)において，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークカードにマークせよ．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$とする．

(3)　定数$t$を含む$x\text{，}y$の連立方程式

$\{\begin{array}{l}2\sin x=(t-5)\sin y\\ 2\tan x=(t-3)\tan y\end{array}$

を考える．

(a)　この方程式は，$t=9$のとき解を持ち，その解に対して，$\cos x=\pm \boxed{\text{ア}}\text{，}$または，$\cos x=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{イ}}}}{\boxed{\text{ウ}}}}$になる．

(b)　この方程式が$\sin x\ne 0\text{，}\cos x\ne 0$となる解を持つ$t$の範囲は，$t>\boxed{\text{エ}}\text{，}$または，$\boxed{\text{オ}}<t<\boxed{\text{カ}}$である．

【２】　原点を通って$x$軸となす角が$\alpha \text{（}0\leqq \alpha <\pi \text{）}$の直線と楕円${\displaystyle \frac{{(x-1)}^2}{4}}+{\displaystyle \frac{y^2}{3}}=1$との二つの交点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とし，楕円の二つの焦点のうち$x$座標が大きい方の焦点を$\mathrm{F}$とする．

(1)　楕円の二つの焦点の座標を書け．

(2)　線分$\mathrm{AB}$の長さ$d\text{，}$三角形$\mathrm{ABF}$の面積$S$を$\alpha$で表せ．

(3)　$\alpha$を変化させたときの$S$の最大を求めよ．

(4)　長さ$\mathrm{AF}$と長さ$\mathrm{BF}$の積$p=\mathrm{AF}\cdot \mathrm{BF}$を$\alpha$で表し，$\alpha$を変化させたときの$p$の最大値を求めよ．

【３】　一辺の長さが$2a$の正三角形$\mathrm{ABC}$に辺$\mathrm{BC}$上で，中点$\mathrm{O}$から$\mathrm{B}$に向かって$x$の位置にある点を$\mathrm{D}$とする（図を参照のこと）．辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{E}$と辺$\mathrm{AC}$上の点$\mathrm{F}$を結ぶ直線で三角形を折り返し，点$\mathrm{A}$が点$\mathrm{D}$に重なるようにする．

(1)　長さ$\mathrm{BE}$と長さ$\mathrm{DE}$の和を$a$で表せ．

(2)　長さ$\mathrm{AE}$および長さ$\mathrm{AF}$を$a$と$x$で表せ．

(3)　$x$を範囲$0\leqq x\leqq a$内で変化させたときの長さ$\mathrm{AE}$の最小値と最大値を求めよ．

(4)　三角形$\mathrm{AEF}$の面積$S$を$a$と$x$で表せ．

(5)　$x$を範囲$0\leqq x\leqq a$内で変化させたときの面積$S$の最小値と最大値を求めよ．