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【1】 次の(1),(2),(3)において,内のつのカタカナにからまでの数字がつあてはまる.その数字を解答用マークカードにマークせよ.分数は既約分数で,値が整数の場合は分母をとする.
(1) ある球団では今年度の投手補強の対象として,社会人グループの人と,大学卒グループの人,それに高校卒グループの人,合計人の選手に注目している.
(a) 社会人を人も入れないで人を選ぶとすると,どの選手を採用するかという選び方は通りある.
(b) 社会人は人だけ入れて,同じグループからは人までとして,合計人を選ぶとすると,どの選手を採用するかという選び方は通りある.
(c) 人を契約するのに,社会人では億円,大学卒では千万円,高校卒では千万円が必要であるとき,同じグループからは人までしか採用しないものとすると,総額億千万円の予算内で最大人の選手を採用できる.そのとき,どの選手を採用するかという選び方は通りある.
(d) 人の投手の勝ち数として,社会人では勝,大学卒では勝,高校卒では勝が期待できるとする.各グループからの人数に制約を付けないとき,全問に示した予算内で期待できる勝数を最大にするには,社会人グループから人,大学卒グループから人,高校卒グループから人の選手を選べばよい.
【2】 辺の長さがの正三角形の頂点にそれぞれ重さの重りが置かれている.この三角形の各辺の等分点から他の辺に平行な直線を引いて,図1(),図2()に例示するように,三角形を辺の長さがの小三角形に分割し,頂点として得られるすべての点にそれぞれ一つの重りを置く.(例えば,図1では点にそれぞれ重さの重りを置く.)ただし,置かれる重りの重さは,共有辺をもつ二つの小三角形からなるどのひし形においても,向かい合う頂点における和が互いに等しくなるようにする.(例えば,図1のひし形においてはが成り立つ.)
(1) 図1の点に置く重りの重さをで表せ.
(2) 図2の点に置く重りの重さを点に置く重りの重さとで表せ.
(3) 前問のをで表せ.
(4) 任意の自然数に対して,点を含めた辺上のすべての点に置く重りの重さの和をで表せ.
(5) 任意の自然数に対して,点を含めたすべての点に置く重りの重さの和をで表せ.
図1 |
図2 |