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1999 東京理科大学 工学部B方式

工業化,経営工,機械工学科

2月9日実施

(1)〜(3)合わせて配点50点

易□ 並□ 難□

【1】 次の(1),(2),(3)において,   内の 1 つのカタカナに 0 から 9 までの数字が 1 つあてはまる.その数字を解答用マークカードにマークせよ.分数は既約分数で,値が整数の場合は分母を 1 とする.

(1) ある球団では今年度の投手補強の対象として,社会人グループの 4 人と,大学卒グループの 4 人,それに高校卒グループの 4 人,合計 12 人の選手に注目している.

(a) 社会人を 1 人も入れないで 5 人を選ぶとすると,どの選手を採用するかという選び方は 通りある.

(b) 社会人は 1 人だけ入れて,同じグループからは 3 人までとして,合計 5 人を選ぶとすると,どの選手を採用するかという選び方は 通りある.

(c)  1 人を契約するのに,社会人では 1 億円,大学卒では 7 千万円,高校卒では 6 千万円が必要であるとき,同じグループからは 3 人までしか採用しないものとすると,総額 3 5 千万円の予算内で最大 人の選手を採用できる.そのとき,どの選手を採用するかという選び方は 通りある.

(d)  1 人の投手の勝ち数として,社会人では 8 勝,大学卒では 5 勝,高校卒では 4 勝が期待できるとする.各グループからの人数に制約を付けないとき,全問に示した予算内で期待できる勝数を最大にするには,社会人グループから 人,大学卒グループから 人,高校卒グループから 人の選手を選べばよい.

1999 東京理科大学 工学部B方式

工業化,経営工,機械工学科

2月9日実施

(1)〜(3)合わせて配点50点

易□ 並□ 難□

【1】 次の(1),(2),(3)において,   内の 1 つのカタカナに 0 から 9 までの数字が 1 つあてはまる.その数字を解答用マークカードにマークせよ.分数は既約分数で,値が整数の場合は分母を 1 とする.

(2) 行列 A= ( 176 65 ) E=( 10 01 ) O=( 0 00 0 ) について,次の問に答えよ.

(a)  A2- pA+ qE= O をみたす p q

p= q=

である.

(b)  B2= A をみたす行列 B について, B2- rB+ sE= O をみたす ( r,s ) は,

(r, s)= (± , )

または

(r, s)= (± ,- )

である.

  B2= A をみたす行列 B

B=± ( )

または

B=± ( - )

である.

1999 東京理科大学 工学部B方式

工業化,経営工,機械工学科

2月9日実施

(1)〜(3)合わせて配点50点

易□ 並□ 難□

【1】 次の(1),(2),(3)において,   内の 1 つのカタカナに 0 から 9 までの数字が 1 つあてはまる.その数字を解答用マークカードにマークせよ.分数は既約分数で,値が整数の場合は分母を 1 とする.

(3) 楕円 x24 +y2 =1 上の点 P (2 cosα ,sinα ) における接線 l P の方程式は

cos α x+ sin α y =1

で与えられる.

 また,この楕円上の点 Q (2 cosβ ,sinβ ) における接線 l Q が接線 l P と直交しているとき

sin2 α+sin 2β =1- sin2 αsin 2β

が成立し,接線 l P l Q の交点 R (u ,v) は方程式

u 2 + v2 =1

をみたす.

1999 東京理科大学 工学部B方式

工業化,経営工,機械工学科

2月9日実施

配点25点

易□ 並□ 難□

【2】  1 辺の長さが 1 の正三角形の 3 頂点 A B C にそれぞれ重さ a b c の重りが置かれている.この三角形の各辺の n 等分点から他の 2 辺に平行な直線を引いて,図1( n =2 ),図2( n =3 )に例示するように,三角形 ABC 1 辺の長さが 1n の小三角形に分割し,頂点として得られるすべての点にそれぞれ一つの重りを置く.(例えば,図1では点 D E F にそれぞれ重さ d e f の重りを置く.)ただし,置かれる重りの重さは,共有辺をもつ二つの小三角形からなるどのひし形においても,向かい合う 2 頂点における和が互いに等しくなるようにする.(例えば,図1のひし形 AFDE においては a +d=e +f が成り立つ.)

(1) 図1の点 D E F に置く重りの重さ d e f a b c で表せ.

(2) 図2の点 F 1 に置く重りの重さ f 1 を点 E 1 F 2 に置く重りの重さ e 1 f2 a で表せ.

(3) 前問の f 1 f2 a b c で表せ.

(4) 任意の自然数 n に対して,点 A B を含めた辺 AB 上のすべての点に置く重りの重さの和を a b c n で表せ.

(5) 任意の自然数 n に対して,点 A B C を含めたすべての点に置く重りの重さの和を a b c n で表せ.

1999年東京理科大工学部2月9日実施【2】の図 1999年東京理科大工学部2月9日実施【2】の図

図1

図2

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工業化,経営工,機械工学科

2月9日実施

配点25点

易□ 並□ 難□

【3】  2 つの放物線 C 1:y= -x2 C2: y=a x2+ 4 a> 0 を考える.

(1)  2 つの放物線 C 1 C2 に同時に接する 2 つの直線 l 1 l2 の方程式を求めよ.(傾きが大きい方を l 1 とする.)

(2) 放物線 C 1 2 つの直線 l 1 l2 で囲まれる部分の面積を求めよ.

(3) 放物線 C 1 x 軸および直線 l 1 で囲まれる部分を, x 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ.

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