1999　東京理科大学　基礎工学部B方式2月10日実施MathJax

【１】　次の問題(1)，(2)，(3)，(4)，(5)については，各問の解答をそれぞれの下に示されている表の中から選び，その番号を解答用マークカードにマークしなさい．

(1)　$x$に関する$3$次方程式

$x^3-36x-a=0$

は$3$つの実数解を持ち，そのうち少なくとも$1$つは偶数である．このとき，定数$a$は何通りの値を取り得るか．解答は表１の中から選べ．

【１】　次の問題(1)，(2)，(3)，(4)，(5)については，各問の解答をそれぞれの下に示されている表の中から選び，その番号を解答用マークカードにマークしなさい．

(2)　複素数$z$と$w$が，関係式

$(z+a)w=2bz$

を満たす．ただし，$a$と$b$は実数であり，$a>0\text{，}b\ne 0$とする．

(a)　$w$の虚部を$1$とし，実部を任意の値とするとき，複素数平面上における$z$の軌跡を求め，その軌跡の全ての点を含む図形の記述を，表２の中から$1$つ選べ．

(b)　$i$を虚数単位とするとき，(a)で求めた軌跡が$i$と$1+2i$を通るように，$a$と$b$の値を決定せよ．解答は，正しい値の組合せを，表３の中から選べ．

【１】　次の問題(1)，(2)，(3)，(4)，(5)については，各問の解答をそれぞれの下に示されている表の中から選び，その番号を解答用マークカードにマークしなさい．

(3)　　サイコロを$3$回投げ，$1$回目，$2$回目，$3$回目に出た目の数をそれぞれ$n_1\text{，}{n}_2\text{，}{n}_3$とする．平面上のベクトル$\overrightarrow{u_1}\text{，}\overrightarrow{u_2}\text{，}\overrightarrow{u_3}$を

$\overrightarrow{u_i}=(\cos {\displaystyle \frac{n_i\pi }{3}},\sin {\displaystyle \frac{n_i\pi }{3}})\text{（}i=1\text{，}2\text{，}3\text{）}$

とするとき，$\overrightarrow{u_1}+\overrightarrow{u_2}+\overrightarrow{u_3}=\overrightarrow{0}$となる確率を求めよ．解答は，表４の中から選べ．

【１】　次の問題(1)，(2)，(3)，(4)，(5)については，各問の解答をそれぞれの下に示されている表の中から選び，その番号を解答用マークカードにマークしなさい．

(4)　$x$に関する多項式${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{(1+x)}^k$の$x^7\text{，}{x}^8\text{，}{x}^9$の係数が，この順で等差数列をなす．このとき，$n$の値は$2$つあって$a$と$b\text{（}a<b\text{）}$である．$a$と$b$を求めよ．$a$は表５の中から選び，$b$は表６の中から選べ．

【１】　次の問題(1)，(2)，(3)，(4)，(5)については，各問の解答をそれぞれの下に示されている表の中から選び，その番号を解答用マークカードにマークしなさい．

(5)　直角三角形$\mathrm{ABC}$があり，$\angle \mathrm{C}=\angle R$（直角），$\mathrm{BC}=x\text{，}\mathrm{CA}=1$である．辺$\mathrm{CA}$を$\sqrt{2}:\sqrt{3}$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，$\angle \mathrm{CBD}=\alpha \text{，}\angle \mathrm{DBA}=\beta$とおく．

(a)　${\displaystyle \frac{\tan \beta }{\tan \alpha }}$の値を求めよ．解答は表７の中から選べ．

(b)　$x$が限りなく大きくなるとき，${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}$はどのような値に近づくか．解答は表８の中から選べ．

【２】　平面上の点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が同一直線上にないとき，線分$\mathrm{AB}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{C}\text{，}$線分$\mathrm{AB}$を$3:2$に外分する点を$\mathrm{D}$とする．$0<x<1$とし，線分$\mathrm{OA}$を$x:(1-x)$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{OC}$と線分$\mathrm{BP}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{AQ}$の延長と線分$\mathrm{OD}$の交点を$\mathrm{R}$とし，$\mathrm{OR}:\mathrm{RD}=y:(1-y)$とする．ただし，$0<y<1$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$\overrightarrow{b}$で表す．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}x$を用いて表せ．

(2)　$y$を$x$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{RB}}$が平行になるときの$x$の値を求めよ．

(4)　三角形$\mathrm{APR}$の面積が最大となるときの$x$の値を求めよ．

【３】　$xy$平面上に円$C_1:x^2+y^2=1$と放物線$C_2:x^2-8y+19=0$がある．直線$l_1:y=ax+b\text{（}a>0\text{，}b>0\text{）}$は$C_1$と$C_2$に接する．また，半径$2$の円$C_3$があって，$C_3$は$l_1$と直線$l_2:x=1$に接する．ただし，$C_3$は$x$軸と交わり，かつ$C_3$の中心は第$1$象限にある．

(1)　$a\text{，}b$の値を求めよ．

(2)　$C_3$の中心の座標を求めよ．

(3)　$C_3$と$x$軸で囲まれ，$y\leqq 0$の領域にある図形を$x$軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ．

(4)　$C_1$上を動く点$\mathrm{P}$と$C_3$上を動く点$\mathrm{Q}$がある．$\mathrm{P}$は，時刻$t=0$で$(-1,0)$を出発し，$C_1$上を一定の早さで反時計回りに$1$回転し，$t=2\pi$で$(-1,0)$に戻る．また，$C_3$が$l_2$に接する点を$\mathrm{A}$とするとき，$\mathrm{Q}$は，$t=0$で$\mathrm{A}$を出発し，$C_3$上を一定の早さで反時計回りに$1$回転し，$t=2\pi$で$\mathrm{A}$に戻る．このとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点が描く軌跡を求めよ．