1999　東京理科大学　理学部数学科2月12日実施

【１】　$a\text{，}b\text{，}c>0$として，$x\text{，}y$平面上の楕円$C_1:{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$と，放物線$C_2:y=c-x^2$を考える．点$\mathrm{P}$が$2$曲線$C_1$と$C_2$の接点であるとは，$C_1\text{，}{C}_2$が共に点$\mathrm{P}$を通り，$\mathrm{P}$での接線が等しいことを言う．このとき次の問に答えよ．

(1)　点$(x_1,y_1)$を$C_1$と$C_2$の共有点とするとき，この点における$C_1\text{，}{C}_2$の接線の方程式を書け．

(2)　$C_1$と$C_2$がちょうど$2$個の接点を持つとする．このときの接点の$y$座標を$a\text{，}b$で表せ．

(3)　$C_1$と$C_2$がちょうど$2$個の接点を持つとき，$c$の値は$a\text{，}b$の式$f(a,b)$で表せる．$f(a,b)$を求めよ．

(4)　$C_1$と$C_2$がちょうど$2$個の接点を持つとき，$a\text{，}b$は必ずある不等式で表される条件をみたしている．この不等式を求めよ．

(5)　$a\text{，}b$が(4)で求めた条件と$a^2+b^2=1$という条件を共にみたして動くときの$f(a,b)$の最小値を求めよ．

【２】　媒介変数$\theta$によって

$x=f(\theta )=\sqrt{3}\theta +\sin \theta -\sqrt{3}\cos \theta \sin \theta \text{，}$

$y=g(\theta )=2\cos \theta -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}{\cos }^2\theta }{2}}$

と表示される曲線$C$は右の図のような形になる（図は$C$の一部である）．この曲線について次の問に答えよ．

(1)　$-\pi \leqq \theta \leqq \pi$で，$g(\theta )$が負でない値を取るような$\theta$の範囲を求めよ．

(2)　$-\pi \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で$f(\theta )$の増減を調べて，解答用紙にある増減表を完成させよ．

(3)　曲線$C$のうちの，(1)で求めた範囲の$\theta$に対応する部分の長さを求めよ．

(4)　$\alpha$を任意の実数とするとき，$\theta =\pi +\alpha \text{，}\theta =\pi -\alpha$に対応する曲線$C$の$2$点の位置関係を考察せよ．

(5)　$\alpha$に関する方程式

${\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\alpha }}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3\cos \alpha +1}}}=0$

は${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$と${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の間に解を持つことを示せ．また，この方程式の解$\alpha$に対しては，$\theta =\pi +\alpha \text{，}\theta =\pi -\alpha$に対応する曲線$C$の点は一致することを示せ．