1999　東京理科大学　理学部B方式2月12日実施MathJax

【１】　次の(1)から(4)において(ア)から(ヒ)の$\boxed{}$にあてはまる$0$から$9$までの数字を求めて，解答用マークカードの指定された列にあるその数をマークせよ．ただし分数は既約分数として表すものとする．

(1)　$e$を自然対数の底とすると，

${\displaystyle {\int }_1^e}\log xdx=\boxed{\text{(ア)}}$

である．また，関数$\log x^2-{(\log x)}^2+1$の$x>0$における最大値は$\boxed{\text{(イ)}}$である．そして

${\displaystyle {\int }_1^e}(\log x^2-{(\log x)}^2+1)dx=\boxed{\text{(ウ)}}$

である．

【１】　次の(1)から(4)において(ア)から(ヒ)の$\boxed{}$にあてはまる$0$から$9$までの数字を求めて，解答用マークカードの指定された列にあるその数をマークせよ．ただし分数は既約分数として表すものとする．

(2)　放物線$C_1:y=x^2+a$の，点$(2,4+a)$における接線$l$は原点を通っている．この条件から$a=\boxed{\text{(エ)}}$であることが分かる．また，別の放物線$C_2:x=b{y}^2+c$も点$(2,4+a)$を通り，そこでの接線はやはり$l$である．この条件より$b={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(オ)}}}{\boxed{\text{(カ)}\text{(キ)}}}}\text{，}c=\boxed{\text{(ク)}}$であることが分かる．このとき，$C_1$と$l$と$y$軸で囲まれる部分の面積を$S_1\text{，}{C}_2$と$l$と$x$軸で囲まれる部分の面積を$S_2$とすると，$S_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(ケ)}}}{\boxed{\text{(コ)}}}}\text{，}{S}_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(サ)}}}{\boxed{\text{(シ)}}}}$である．

【１】　次の(1)から(4)において(ア)から(ヒ)の$\boxed{}$にあてはまる$0$から$9$までの数字を求めて，解答用マークカードの指定された列にあるその数をマークせよ．ただし分数は既約分数として表すものとする．

(3)　長さ$1$の線分$\mathrm{AB}$を直径とする円$C$を考え，$C$上の，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$と異なる点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{P}$から$\mathrm{AB}$へおろした垂線を$\mathrm{PQ}$とする．$\angle \mathrm{PAB}$を$\theta$とすると，$▵\mathrm{APQ}$の面積は$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{(ス)}}}}$のとき最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(セ)}}\sqrt{\boxed{\text{(ソ)}}}}{\boxed{\text{(タ)}\text{(チ)}}}}$をとる．また，線分$\mathrm{PQ}\text{，}\mathrm{QB}$の長さの和は$\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(ツ)}}\pi }{\boxed{\text{(テ)}}}}$のとき最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(ト)}}+\sqrt{\boxed{\text{(ナ)}}}}{\boxed{\text{(ニ)}}}}$をとる．

【１】　次の(1)から(4)において(ア)から(ヒ)の$\boxed{}$にあてはまる$0$から$9$までの数字を求めて，解答用マークカードの指定された列にあるその数をマークせよ．ただし分数は既約分数として表すものとする．

(4)　$\mathrm{A}$は次の$2$つの条件(ⅰ)，(ⅱ)をみたす，複素数からなる空でない集合とする：

(ⅰ)　$\mathrm{A}$は$0$を含まない．

(ⅱ)　$x$が$\mathrm{A}$に含まれるならば，$1-{\displaystyle \frac{1}{x}}$も$\mathrm{A}$に含まれる．

　このとき，要素の個数が$1$であるような$\mathrm{A}$は，

$\left\{{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(ヌ)}}+\sqrt{\boxed{\text{(ネ)}}}i}{\boxed{\text{(ノ)}}}}\right\}\text{，}\left\{{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(ヌ)}}-\sqrt{\boxed{\text{(ネ)}}}i}{\boxed{\text{(ノ)}}}}\right\}$

の$2$種類のみである．ただしここで$i$は虚数単位を表す．また，要素の個数が$2$であるような$\mathrm{A}$は全部で$\boxed{\text{(ハ)}}$種類である．そして，$\mathrm{A}$が実数だけからなる有限集合の場合は，$\mathrm{A}$の要素の個数は$\boxed{\text{(ヒ)}}$の倍数である．

【２】　次の各問に答えよ．

(1)　座標平面上の双曲線$x^2-y^2=1$上の点$(x_0,y_0)$における接線に原点から下ろした垂線とこの接線との交点を$(x_1,y_1)$とする．

(a)　このとき$x_0\text{，}{y}_0$を$y_1\text{，}{y}_1$で表せ．

(b)　点$(x_0,y_0)$が双曲線$x^2-y^2=1$の上を動くとき点$(x_1,y_1)$の描く曲線$C_1$の方程式を求めよ．

(c)　点$(x_0,y_0)$が双曲線$x^2-y^2=1$上の$x>0$の部分を動くとき，$y_1$の最大値とそのときの$x_0\text{，}{y}_0$を求めよ．

(2)　$a\text{，}b>0$として，$2$点$(-a,0)\text{，}(a,0)$からの距離の積が$b$となるような点$\mathrm{P}$の描く曲線を$C_2$とする．曲線$C_2$の方程式が曲線$C_1$の方程式と等しくなるような$a\text{，}b$を求めよ．

【３】　$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$があるとき，これらから

${\mathit{x}}_n=\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ b_n\end{array}\right)$

によって列ベクトルの列$\{{\mathit{x}}_n\}$を作る．この列が，次の行列$P$に対して${\mathit{x}}_{n+1}=P{\mathit{x}}_n$という漸化式をみたしているとする：

$P=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{4}}& {\displaystyle \frac{5}{8}}\\ {\displaystyle \frac{3}{4}}& {\displaystyle \frac{3}{8}}\end{array}\right)$

　このとき次の問に答えよ．

(1)　${\mathit{x}}_{n+1}=P{\mathit{x}}_n$を使って，$a_{n+1}\text{，}{b}_{n+1}$を$a_n\text{，}{b}_n$で表せ．

(2)　(1)の結果から，$a_{n+2}\text{，}{a}_{n+1}\text{，}{a}_n$を含んだ$a_n$についての漸化式を求めよ．

(3)　上で求めた漸化式から，$a_n$を$a_1\text{，}{a}_2$で表す式を求めよ．

(4)　同様にして$b_n$についての漸化式を求め，$b_n$を$b_1\text{，}{b}_2$で表す式を求めよ．

(5)　$a_n\text{，}{b}_n$の$n\to \infty$のときの極限値$a\text{，}b$を$a_1\text{，}{b}_1$で表せ．

(6)　極限値$a\text{，}b$を成分とする列ベクトルを$\mathit{x}$とするとき，行列の積$P\mathit{x}$を計算せよ．