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1999-13442-1301
1999 東京理科大学 理学部数理情報学科B方式
2月13日実施
配点50点
易□ 並□ 難□
【1】 n=0 ,1 ,2 ,⋯ に対して
Sn= ∫ 0π2 ⁡e x⁢x n⁢sin ⁡x⁢d x, Cn= ∫ 0π2 ⁡ ex⁢ xn⁢ cos⁡x⁢ dx
とおく.ただし, e は自然対数の底である.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) S0 , C0 の値をそれぞれ求めよ.
(2) n≧1 のとき, Sn を Sn-1 ,C n-1 を用いて,また, Cn を Sn-1 ,C n-1 を用いてそれぞれ表せ.さらに, S1 と C 1 の値を求めよ.
(3) 次の式
f⁡( x)= ∫ 0x⁡ t⁢( sin⁡t- cos⁡t) ⁢dt+ ∫ 0π2 ⁡ et⁢f ⁡(t )⁢d t
を満たす f⁡ (x ) を求めよ.
1999-13442-1302
【2】 Cr n を二項係数とするとき,次の和を求めよ.
(1) C0 n + C1 n + C2 n +⋯+ Cn n
(2) C0 n +2⁢ C1 n +3⁢ C2 n +⋯+ (n+1 )⁢ Cn n
(3) C0 n + 12⁢ C1 n + 13 ⁢ C2 n +⋯ +1 n+1 ⁢ Cn n
(4) 1 2⁢ C0 n + 13⁢ C1 n + 14 C2 n +⋯+ 1 n+2 ⁢ Cn n
(5) ( C0 n ) 2+ ( C1 n ) 2+ ( C2 n ) 2+⋯ +( Cn n ) 2