2000　大学入試センター試験　追試験　数学I・数学IAMathJax

【１】

〔１〕　$a$は$a^2-3\ne 0$を満たす実数とし，$C$を$2$次関数 

$y=(a^2-3)x^2-2ax+4\cdots \text{①}$

 のグラフとする．

(1)　グラフ$C$の表す放物線が上に凸で，頂点の$x$座標が負であるような$a$の範囲は$\boxed{\text{ア}}<a<\sqrt{\boxed{\text{イ}}}$である．

(2)　$a=3$とする．このとき，$C$は$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$を軸とする放物線であり，$2$次関数$\text{①}$の最小値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$である．

(3)　$a=\mathrm{-1}$とする．$n$を$0$でない整数とし，グラフ$C$を$x$軸方向，$y$軸方向にそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{n}}$だけ平行移動した放物線を表す$2$次関数を 

$y=\mathrm{-2}{x}^2+bx+c$

とする．このとき，$b\text{，}$$c$がともに整数となるような$n$は$n=\pm \boxed{\text{キ}}\text{，}$$n=\pm \boxed{\text{ク}}$である．（キとクは，解答の順序を問わない．）

【１】

〔２〕　$1$から$6$までの番号のつけられている$6$枚のカードがあり，横一列に配置されている．はじめの配置は$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6$である．二つのさいころを同時に振るたびに，出た目によってカードの配置を変えていく．もし，出た二つの目が異なるなら，その目と同じ番号のカードの位置を交換し，出た目が同じなら，カードの位置を変えないものとする．

(1)　二つのさいころを$1$回振って配置が変わらない確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$である．

(2)　二つのさいころを$1$回振って，番号$1$のカードの位置がはじめの配置と異なる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シス}}}}$である．

(3)　二つのさいころを$2$回振って，番号$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4$の$4$枚のカードの位置がどれもはじめの配置と異なる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソタ}}}}$である．

(4)　二つのさいころを$2$回振って，位置がはじめの配置と異なるカードが番号$1\text{，}$$2\text{，}$$3$の$3$枚のみである確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツテ}}}}$である．

【２】　四角形$\mathrm{ABCD}$は，円$O$に内接し，

$2\mathrm{AB}=\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CD}=2\text{，}$$\mathrm{DA}=1\text{，}$$\cos \angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{5}{8}}$

を満たしている．このとき，

• ${\displaystyle \cos \angle \mathrm{ADC}=\frac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウ}}}\text{，}}$$\mathrm{AC}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{エオ}}}}{\boxed{\text{カ}}}}\text{，}$
• $\sin \angle \mathrm{ADC}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{キク}}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$

である．また，円$O$の半径は${\displaystyle \frac{2}{13}}\sqrt{\boxed{\text{コサシ}}}$で，$\mathrm{AB}=\sqrt{\boxed{\text{ス}}}$である．さらに

$\mathrm{BD}={\displaystyle \frac{4}{5}}\sqrt{\boxed{\text{セソ}}}\text{，}$$\cos \angle \mathrm{BCD}={\displaystyle \frac{2}{5}}\sqrt{\boxed{\text{タ}}}$

である．

【３】　$5$枚のカードがあり，それぞれに$1$ から$5$までの番号が一つずつ書いてある．この$5$枚のカードを次のように並べ分ける方法を考える．

• (ⅰ)　まず，$5$枚のカードを横一列に並べる．
• (ⅱ)　次に，このカードを左から第$1$群，第$2$群，第$3$群と三つの群に分け，どの群も$1$枚以上のカードを含むようにする．

　ただし，$5$枚のカードの数字の並び順が同じでも，三つの群への分け方が異なっているときは，並べ分ける方法としては異なっているものとみなす．

(1)　$5$枚のカードが左から順に$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5$と並ぶように並べ分ける方法は$\boxed{\text{ア}}$通りある．

(2)　$5$枚のカードを並べ分ける方法は全部で$\boxed{\text{イウエ}}$通りある．

(3)　第$1$群が奇数の番号のカード$3$枚からなるように並べ分ける方法は$\boxed{\text{オカ}}$通りある．

(4)　第$1$群，第$2$群，第$3$群の左端がそれぞれ$1\text{，}$$3\text{，}$$5$のカードであるように並べ分ける方法は$\boxed{\text{キク}}$通りある．

【２】

〔１〕　$a$を実数とする．

(1)　$x$の整式$A\text{，}$$B$を

• $A=x^4-(a+8)x^2-2ax+4a+1$
• $B=x^2-2x-a$

とする．$A$を$B$で割ったときの商は$x^2+\boxed{\text{ア}}x-\boxed{\text{イ}}\text{，}$余りは$\boxed{\text{ウエ}}x+\boxed{\text{オ}}$となる．

(2)　$p=\mathrm{-1}+\sqrt{5}$とおく．$p$は$2$次方程式

$x^2+2x-\boxed{\text{カ}}=0$

の解の一つであり，

$p^4-(a+8)p^2-2ap+4a+1$$=\boxed{\text{キ}}-\boxed{\text{ク}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}$

である．また，整数$n$が$\boxed{\text{コサ}}$または$\boxed{\text{シ}}$に等しいとき

$\{p^4-(a+8)p^2-2ap+4a+1\}+(n^2+2n\sqrt{5})p$

は整数となる．

【２】

〔２〕　四角形$\mathrm{ABCD}$は，円$O$に内接し，

$2\mathrm{AB}=\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CD}=2\text{，}$$\mathrm{DA}=1\text{，}$$\cos \angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{5}{8}}$

を満たしている．このとき，$\mathrm{AC}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{スセ}}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$である．また，円$O$の半径は${\displaystyle \frac{2}{13}}\sqrt{\boxed{\text{タチツ}}}$で，$\mathrm{AB}=\sqrt{\boxed{\text{テ}}}$である．さらに

$\mathrm{BD}={\displaystyle \frac{4}{5}}\sqrt{\boxed{\text{トナ}}}\text{，}\cos \angle \mathrm{BCD}={\displaystyle \frac{2}{5}}\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}$

である．

【３】(1)　等差数列$\{a_n\}$に対して，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$とおく．ここで，初項$a_1=38\text{，}$第$(m+1)$項$a_{m+1}=5\text{，}{S}_{m+1}=258$とする．

　このとき，$m=\boxed{\text{アイ}}$であり，公差は$\boxed{\text{ウエ}}$である．また，$S_n$は$n=\boxed{\text{オカ}}$のとき最大となり，その最大値は$\boxed{\text{キクケ}}$である．

(2)　等比数列$\{b_n\}$の初項$b_1$と公比$r$は正の数とし，$T_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k$とおく．この数列$\{T_n\}$は$5T_2=4T_4$を満たすとする．

　ここで，$T_4=(r^2+\boxed{\text{コ}})T_2$であるので，数列$\{b_n\}$の公比は$r={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$である．

　さらに$p$を定数とし，$U_n=p+T_n$とおく．$p=\boxed{\text{スセ}}{b}_1$であるならば，数列$\{U_n\}$は等比数列となる．

【４】　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$の辺の長さを，それぞれ

$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{BC}=3\text{，}$$\mathrm{CD}=2\text{，}$$\mathrm{DA}=6$

とする．$2$直線$\mathrm{BC}$と$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{E}$とし，$2$直線$\mathrm{AB}$と$\mathrm{DC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．

　次の文章中の$\boxed{\text{アイウ}}$と$\boxed{\text{ケコ}}\text{〜}$$\boxed{\text{セソ}}$については，当てはまるものを記号$\mathrm{A}\text{〜}$$\mathrm{G}$のうちから選べ．（アとイとウ，ケとコ，サとス，セとソは，それぞれ解答の順序を問わない．）

(1)　$\mathrm{EC}=x\text{，}$$\mathrm{ED}=y$とおけば，相似な二つの三角形$▵\boxed{\text{アイウ}}$と$▵\mathrm{ABE}$との対応する辺の比はみな等しいから

• $x:2=(y+\boxed{\text{エ}}):4$
• $y:2=(x+\boxed{\text{オ}}):4$

が成り立つ．ゆえに$x=\boxed{\text{カ}}$である．さらに

$\mathrm{EC}\cdot \mathrm{EB}=\boxed{\text{キク}}\cdots \text{①}$

である．同様に

$\mathrm{FC}\cdot \mathrm{FD}={\displaystyle \frac{160}{9}}\cdots \text{②}$

である．

(2)　点$\mathrm{G}$を，$▵\mathrm{FBC}$の外接円と直線$\mathrm{EF}$との交点で$\mathrm{F}$とは異なる点とすれば，

$\boxed{\text{ケコ}}\cdot \mathrm{EF}=\mathrm{EC}\cdot \mathrm{EB}\cdots \text{③}$

である．また，$4$点$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{B}$は同一円周上にあり，$4$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$も同一円周上にあるから

$\angle \mathrm{FGC}=\angle \boxed{\text{サシス}}=\angle \mathrm{EDC}$

となる．これにより$4$点$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{G}$は同一円周上にあることがわかる．したがって，

$\boxed{\text{セソ}}\cdot \mathrm{FE}=\mathrm{FC}\cdot \mathrm{FD}\cdots \text{④}$

となる．$\text{①}\text{，}$$\text{②}\text{，}$$\text{③}\text{，}$$\text{④}$により

$\mathrm{EF}={\displaystyle \frac{2}{3}}\sqrt{\boxed{\text{タチツ}}}$

である．

【５】(1)　次のプログラムを実行する．

• 130 INPUT "J = ";J
• 140 S = 0
• 150 FOR K = 1 TO J
• 160 S = S + (2 * K - 1)
• 170 NEXT K
• 180 PRINT S
• 220 END

　J = ? に対して$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$を入力すると，$180$行により，それぞれ$\boxed{\text{ア}}\text{，}$$\boxed{\text{イ}}\text{，}$$\boxed{\text{ウ}}\text{，}$$\boxed{\text{エオ}}$と出力される．

(2)　(1)のプログラムを利用して，次のプログラムを作った．

• 110 INPUT "N = ";N
• 120 T = 0
• 130 FOR J = 1 TO N
• 140 S = 0
• 150 FOR K = 1 TO J
• 160  S = S + (2 * K - 1)
• 170 NEXT K
• 180 PRINT S;
• 190 T = T + S
• 200 NEXT J
• 210 PRINT T
• 220 END

　N = ? に対して$5$を入力すると，

$\boxed{\text{ア}}\boxed{\text{イ}}\boxed{\text{ウ}}\boxed{\text{エオ}}\boxed{\text{カキ}}\boxed{\text{クケ}}$

と出力される．また，$210$行により出力される数が$3\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$となるような最小の自然数$N$は$\boxed{\text{コ}}$であり，そのとき，$210$行により$\boxed{\text{サシス}}$が出力される．