Mathematics
Examination
Test
Archives
METAトップへ
年度一覧へ
2000年度一覧へ
大学別一覧へ
室蘭工大一覧へ
2000-10007-0101
2000 室蘭工業大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 すべての実数 x に対して,
p⁡(x )=-2 ⁢cos⁡x ,f ⁡(x) ={p⁡ (2⁢x )+2} ⁢ep ⁡(x)
とおく.ただし, e は自然対数の底である.
(1) 平面上の 0≦ x≦π ,0 ≦y≦ f⁡(x ) を満たす点 (x, y) の全体からなる図形の面積を求めよ.
(2) 関数 f⁡ (x) の最大値を求めよ.
2000-10007-0102
【2】 3 次関数
f⁡(x )=x⁢ (x2 +a⁢x +b)
は x= 1 で極大であって,曲線 y= f⁡(x ) は x 軸と異なる 3 点で交わり,さらにその曲線と x 軸とで囲まれた 2 つの部分の面積は等しいとする.
(1) 3 次方程式 f⁡ (x)= 0 の解を求めよ.
(2) f⁡(x ) が極小となる x の値を求めよ.
2000-10007-0103
【4】との選択
【3】 P=(a 2+b 2)⁢ (x2 +y2 )-( a⁢x+ b⁢y) 2 とする.
(1) 整式 P を因数分解せよ.
(2) 実数 a ,b ,x ,y が P≠ 0 を満たすとき,不等式
|x 2+y 2- a2+ b2 |< |x- a|+ |y- b|
が成り立つことを示せ.
2000-10007-0104
【3】との選択
【4】 数列 {an } は,関係式
2⁢ ∑k =1n ⁡ak =n2 -an ( n= 1, 2, 3, ⋯)
を満たすとする.
(1) 漸化式
an+ 1= 1 3⁢ ( an+ 2⁢n+ 1)( n= 1, 2, 3, ⋯)
(2) 一般項 an を求めよ.
2000-10007-0105
【6】との選択
【5】 不等式
s≧0 ,t≧ 0, 1≦s+ 2⁢t≦ 2
を満たす s ,t と,平面上の 3 点 O( 0,0) ,A( 1,2) ,B (4, 2) に対して点 P を
OP→ =s⁢ OA→+ tOB→
と定める.
(1) このような点 P の全体からなる図形の面積を求めよ.
(2) このようなすべての点 P に対して,内積 OP →⋅ OA→ がとる値の範囲を求めよ.
2000-10007-0106
【5】との選択
【6】 複素数 z= x+y⁢ i ( x ,y は実数, i は虚数単位)の偏角を θ ( 0° ≦θ< 360° ) とし,
w=z2 +z ‾2 +2⁢{ z⁢z ‾+ i⁢(z +z‾ )}
とおく.ただし, z‾ は z に共役な複素数を表す.
(1) w を x ,y で表せ.
(2) w≦-3 を満たす z に対して,偏角 θ のとる値の範囲を求めよ.
2000-10007-0107
【8】との選択
【7】 a⁢c≠ b2 とし,行列
A=( 5-3 2 0) ,B= ( 30 02 ) ,P= (a b bc )
と P の逆行列 P -1 を考える.
(1) P-1 ⁢A⁢ P=B を満たす a ,b ,c のうちで,正の整数であって最小なものを求めよ.
(2) 正の整数 n に対して, Bn と An を求めよ.
2000-10007-0108
【7】との選択
【8】 実数 t に対して,平面上の楕円 Ct を次のように定める.
(イ) 長軸は 2 点 (t, -2⁢t +2) ,(t, -2⁢t -4) を結ぶ線分である.
(ロ) 長軸の長さは,短軸の長さの 32 倍に等しい.
(1) 楕円 Ct の方程式を求めよ.
(2) t がすべての実数を動くとき,楕円 Ct が描く領域を不等式で表せ.