2000　室蘭工業大学　前期MathJax

【１】　すべての実数$x$に対して，

$p(x)=-2\cos x\text{，}f(x)=\{p(2x)+2\}{e}^{p(x)}$

とおく．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)　平面上の$0\leqq x\leqq \pi \text{，}0\leqq y\leqq \sqrt{f(x)}$を満たす点$(x,y)$の全体からなる図形の面積を求めよ．

(2)　関数$f(x)$の最大値を求めよ．

【２】　$3$次関数

$f(x)=x(x^2+ax+b)$

は$x=1$で極大であって，曲線$y=f(x)$は$x$軸と異なる$3$点で交わり，さらにその曲線と$x$軸とで囲まれた$2$つの部分の面積は等しいとする．

(1)　$3$次方程式$f(x)=0$の解を求めよ．

(2)　$f(x)$が極小となる$x$の値を求めよ．

【３】　$P=(a^2+b^2)(x^2+y^2)-{(ax+by)}^2$とする．

(1)　整式$P$を因数分解せよ．

(2)　実数$a\text{，}b\text{，}x\text{，}y$が$P\ne 0$を満たすとき，不等式

$|\sqrt{x^2+y^2}-\sqrt{a^2+b^2}|<|x-a|+|y-b|$

が成り立つことを示せ．

【４】　数列$\{a_n\}$は，関係式

$2{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k=n^2-a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．

(1)　漸化式

$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{3}}(a_n+2n+1)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つことを示せ．

(2)　一般項$a_n$を求めよ．

【５】　不等式

$s\geqq 0\text{，}t\geqq 0\text{，}1\leqq s+2t\leqq 2$

を満たす$s\text{，}t$と，平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,2)\text{，}\mathrm{B}(4,2)$に対して点$\mathrm{P}$を

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

と定める．

(1)　このような点$\mathrm{P}$の全体からなる図形の面積を求めよ．

(2)　このようなすべての点$\mathrm{P}$に対して，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$がとる値の範囲を求めよ．

【６】　複素数$z=x+yi$（$x\text{，}y$は実数，$i$は虚数単位）の偏角を$\theta \text{（}0°\leqq \theta <360°\text{）}$とし，

$w=z^2+{\bar{z}}^2+2\{z\bar{z}+i(z+\bar{z})\}$

とおく．ただし，$\bar{z}$は$z$に共役な複素数を表す．

(1)　$w$を$x\text{，}y$で表せ．

(2)　$w\leqq -3$を満たす$z$に対して，偏角$\theta$のとる値の範囲を求めよ．

【７】　$ac\ne b^2$とし，行列

$A=\left(\begin{array}{cc}5& -3\\ 2& 0\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 2\end{array}\right)\text{，}P=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)$

と$P$の逆行列$P^{-1}$を考える．

(1)　$P^{-1}AP=B$を満たす$a\text{，}b\text{，}c$のうちで，正の整数であって最小なものを求めよ．

(2)　正の整数$n$に対して，$B^n$と$A^n$を求めよ．

【８】　実数$t$に対して，平面上の楕円$C_t$を次のように定める．

(イ)　長軸は$2$点$(t,-2t+2)\text{，}(t,-2t-4)$を結ぶ線分である．

(ロ)　長軸の長さは，短軸の長さの${\displaystyle \frac{3}{2}}$倍に等しい．

(1)　楕円$C_t$の方程式を求めよ．

(2)　$t$がすべての実数を動くとき，楕円$C_t$が描く領域を不等式で表せ．