2000　東北大学　前期MathJax

【１】　等式

$x^2+(i-2)x+2ab+({\displaystyle \frac{b}{2}}-2a)i=0$

を満たす実数$a\text{，}b$が存在するような，実数$x$の範囲を求めよ．ただし，$i=\sqrt{-1}$である．

【２】　$|x^2-3x+1|>|x^2-1|-|2x-1|$を満たす$x$の範囲を求めよ．

【３】　二つの正の数$a\text{，}b$に対し，$xy$平面上の$3$点を$\mathrm{A}(-a,0)\text{，}\mathrm{B}(0,b)\text{，}\mathrm{C}(a,0)$とする．$0<t<1$である各$t$に対し，線分$\mathrm{AB}$と$\mathrm{BC}$を$t:1-t$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}(t)\text{，}\mathrm{Q}(t)$とし，さらに線分$\mathrm{P}(t)Q(t)$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{R}(t)$とし，点$\mathrm{R}(t)\text{，}0\leqq t\leqq 1$の描く曲線を$R$とする．ただし，$\mathrm{R}(0)=\mathrm{A}\text{，}\mathrm{R}(1)=\mathrm{C}$とする．

(1)　曲線$R$を$x$と$y$で表せ．

(2)　$2$点$\mathrm{P}(t)\text{，}\mathrm{Q}(t)$を結ぶ直線$l(t)$の方程式を求め，$l(t)$が，点$\mathrm{R}(t)$で曲線$R$に接することを示せ．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$内で直線$l(t)\text{，}0\leqq t\leqq 1$が通る点の領域を図示し，その面積$S$を求めよ．ただし，$l(0)$は点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線とし，$l(1)$は点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る直線とする．

【４】　数直線上を，原点$\mathrm{O}$から出発して動く点$\mathrm{A}$があるとする．一つのさいころを振り，その出た目が$1$のとき点$\mathrm{A}$を右に$1$動かし，出た目が$2\text{，}3$のときは右に$2$動かすものとする．また出た目が$4$のとき左に$1$動かし，出た目が$5\text{，}6$のときは左に$2$動かすものとする．このとき，さいころを$5$回振った後に点$\mathrm{A}$が原点にある確率を求めよ．

【１】　

$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}K=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

とし，$p\text{，}q$を実数とする．

(1)　${(aE+bK)}^2=pE+qK$となる実数$a\text{，}b$が存在するためには，$p\text{，}q$がどんな条件を満たすことが必要十分であるか．

(2)　$p\text{，}q$が$p^2+q^2=2$を満たし，さらに

• ${(aE+bK)}^2=pE+qK$
• ${(cE+dK)}^2=qE-pK$

となる実数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$が存在するとする．このとき，$p\text{，}q$の値を求めよ．

【２】　$\alpha \text{，}\beta$は$|\alpha +\beta |<2$を満たす複素数とする．このとき関数

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{4}}{|\alpha +\beta |}^2{x}^2-(|\alpha |+|\beta |)x+1$

の$0\leqq x\leqq 1$における最小値を求めよ．

【３】　実数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$が$ad-bc\ne 0$を満たすとき，関数

$f(x)={\displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}}$

について，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の逆関数$f^{-1}(x)$を求めよ．

(2)　$f^{-1}(x)=f(x)$を満たし，$f(x)\ne x$となる$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の関係式を求めよ．

(3)　$f^{-1}(x)=f(f(x))$を満たし，$f(x)\ne x$となる$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の関係式を求めよ．

【５】　$0<t<1$として，頂点が$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(t,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1)$である三角形と，頂点が$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}(1-t,0)\text{，}\mathrm{Q}(1-t,1-t)\text{，}\mathrm{R}(0,1-t)$である正方形の共通部分の面積を$S$とするとき，$S$を$t$の式で表せ．また，$S$を最大にする$t$の値を求めよ．

【６】　数列$\{{\alpha }_n\}$を

初項${\displaystyle \frac{4}{5}}\text{，}$公比 $2$

の等比数列，数列$\{{\beta }_n\}$を

初項${\displaystyle \frac{1}{5}}\text{，}$公比$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

の等比数列とする．

(1)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5$のとき，${\alpha }_n$の小数部分を求めよ．

(2)　$a_n={\alpha }_n+{\beta }_n$の小数部分$b_n$を求めよ．

(3)　数列$\{b_n\}$の初項から第$100$項までの和の整数部分を求めよ．

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