2000　筑波大学　前期MathJax

【１】　関数$f_n(x)={\sin }^{n+2}x+2{\cos }^{n+2}x\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$について，次の問いに答えよ．

(1)　閉区間$[0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$における$f_n(x)$の最大値$M_n$と最小値$L_n$を求めよ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{L_n}$を求めよ．

【２】　$e$を自然対数の底とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x\geqq 0$のとき，不等式$e^x\geqq 1+x$を示せ．

(2)　$\tan \theta =M(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$のとき，等式${\displaystyle {\int }_0^M}{\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}dx=\theta$を示せ．

(3)　$M>0$のとき，不等式${\displaystyle {\int }_0^M}{\displaystyle \frac{1}{e^{x^2}}}dx<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を示せ．

【３】　すべての正の実数$x$について$x^{\sqrt{a}}\leqq a^{\sqrt{x}}$となる正の実数$a$を求めよ．

【４】　$2$次正方行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$が$A^2=A$を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a+d\ne 1$のとき，$A$を決定せよ．

(2)　実数$u\text{，}v\text{，}x\text{，}y$が$ux+vy=1$を満たすとき，$2$次正方行列$X=\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)(\begin{array}{cc}x& y\end{array})$は$X^2=X$を満たすことを示せ．

(3)　$a+d=1$のとき，$d\left(\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right)=c\left(\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right)$が成り立ち，$A$は(2)の$X$の形になることを示せ．

【５】　次の問いに答えよ．

(1)　点$(3,0)$を通り，円${(x+3)}^2+y^2=4$と互いに外接する円の中心$(X,Y)$の軌跡を求めよ．

(2)　(1)の軌跡上の点と定点$(0,a)$との距離の最小値を求めよ．

【６】　$2$つの変量$X\text{，}Y$のそれぞれについて$m$個の資料$x_1\text{，}\cdots \text{，}{x}_m\text{，}$および$n$個の資料$y_1\text{，}\cdots \text{，}{y}_n$が与えられている．$X\text{，}Y$の資料に対する平均を$\bar{x}\text{，}\bar{y}\text{，}$分散を${S_x}^2\text{，}{S_y}^2$とする．$X$と$Y$の資料を合わせてえられる$(m+n)$個の資料$x_1\text{，}\cdots \text{，}{x}_m\text{，}{y}_1\text{，}\cdots \text{，}{y}_n$の平均を$\bar{z}\text{，}$分散を${S_z}^2$とする．このとき，次の等式を示せ．

(1)　$\bar{z}={\displaystyle \frac{1}{m+n}}(m\bar{x}+n\bar{y})$

(2)　${S_z}^2={\displaystyle \frac{m{S_x}^2+n{S_y}^2}{m+n}}+{\displaystyle \frac{mn}{{(m+n)}^2}}{(\bar{x}-\bar{y})}^2$

【７】　自然数$n$を与え，関数

$f(x)={\displaystyle \frac{x^n}{n+1}+\frac{x^{n-1}}{n}+\cdots +\frac{x}{2}+1}$

を定義するとき，方程式$f(x)=0$の近似解を求めるプログラムを考える．ただし，$x=c$での関数値$f(c)$の計算には$P_0={\displaystyle \frac{1}{n+1}}$を初項とする漸化式

$P_{k+1}=c{P}_k+{\displaystyle \frac{1}{n-k}}\text{，}k=0\text{，}1\text{，}\cdots \text{，}n-1$

を用いる．以下の問いに答えよ．

(1)　$P_2$を求めよ．

(2)　$P_k$を求め，$P_n=f(c)$を確かめよ．

(3)　$f(a)f(b)<0$となる実数$a\text{，}b\text{（}a<b\text{）}$が与えられたときに，閉区間$[a,b]$における方程式$f(x)=0$の近似解を$2$分法によって求めるプログラムを書け．ただし，反復を停止する条件は区間幅が${10}^{-4}$以下とする．

志望別問題選択一覧

第一学群

　自然学類　【１】〜【３】必須，【４】〜【７】から２題選択

第二学群

　人間学類　数学III選択　【１】〜【３】から２題選択

　人間学類　数学C選択　【４】〜【７】から２題選択

　生物学類，生物資源学類　【１】〜【３】必須，【４】〜【７】から２題選択

第三学群

　社会工学類，情報学類　【１】〜【３】必須，【４】〜【７】から２題選択

　国際総合学類　【１】〜【３】から２題選択，【４】〜【７】から２題選択

　工学システム学類，工学基礎学類　【１】，【２】必須，【４】〜【７】から１題選択

医学専門学群

　【１】〜【３】必須，【４】〜【７】から２題選択