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2000-10221-0201
2000 埼玉大学 後期
理,工学部
易□ 並□ 難□
【1】 次の各問に答えよ.
(1) m を自然数とするとき,定積分 ∫0π ⁡cos ⁡m⁢x ⁢sin2 ⁡x⁢d x を求めよ.
2000-10221-0202
(2) 次の条件を満たす複素数 w で絶対値が最小のものを求めよ.
条件: |z| ≦1 かつ z+ w≠0 であるようなすべての複素数 z に対して, z+w の偏角は 0 ° 以上 120 ° 以下になる.
2000-10221-0203
【2】 関数 f⁡ (x) を次のように定める.
f⁡(x )={ 1- x( x>0 のとき) 0(x ≦0 のとき)
実数 a に対して, f⁡(x )+( x-a) 2 の最小値を g⁡ (a) とおく.
このとき,関数 y= g⁡(x ) を求め,そのグラフを座標平面上に図示せよ.
2000-10221-0204
【3】 b ,c を実数とする.実数を成分にもつ 2 次の正方行列 X= (x y yz ) で,
X2+ b⁢X+ c⁢E= O( E は単位行列, O は零行列)
を満たすものが無数にあるための, b と c についての必要十分条件を求めよ.
2000-10221-0205
【4】 座標空間に,点 (0, 1,0) を通り,ベクトル d →= (1,0 ,1) に平行な直線 l と点 A (0 , 12, 0) がある.
(1) x 軸上の点 P( t,0, 0) から直線 l に下ろした垂線の足 H の座標を求めよ.
(2) cos⁡∠APH を t の式で表わせ.
(3) ∠APH を最大値にするような t の値を求めよ.