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2000-10241-0301
2000 千葉大学 前期 数学III・数学C
教育学部
易□ 並□ 難□
【1】 x の関数
f⁡(x )={ (x +a)⁢ log⁡x+ 1( x>1 のとき)b ⁢x+p ( 0≦x≦ 1 のとき) x⁢x 2+1 +p( x<0 のとき)
は,すべての点で連続であり,条件
(*) ⋯ ∫- 3e ⁡f⁡( x)⁢dx =- 3112+ e2 4+ 2⁢e+ ( 12 +3 )⁢ p
を満たすとする.ただし, a ,b ,p は定数とする.
(1) 関数 f⁡ (x) が x= 1 で連続であることから, b と p の満たす関係式を求めよ.
(2) 次の 3 つの積分
I1= ∫ -3 0⁡ f⁡(x )dx ,I2 = ∫01 ⁡f ⁡(x) ⁢dx ,I3 = ∫1e ⁡f⁡ (x)⁢ dx
を a と p を用いて表せ.
(3) 条件(*)より, a の値を求めよ.
(4) 関数 f⁡ (x) は p= -e のとき x= 1 で微分できることを説明し,その微分係数を求めよ.
(5) 関数 f⁡ (x) は p= -e のとき x= 0 で微分できるかどうかを判定し,微分できるときはその微分係数を求め,微分できないときはその理由を述べよ.
2000-10241-0302
【2】 a を実数とする. 2 つの数列 {xn }, {yn } が
x1= 2, y1= 0, xn+ 1=1 -α⁢y n, yn+ 1=α ⁢(xn -1)
を満たすとき,次の問いに答えよ.
(1) n≧1 のとき
x2⁢ n-1 =1+ (-1) n-1 ⁢α 2⁢( n-1) , y2⁢ n-1 =0
であることを示せ.
(2) |α |<1 であるとき ∑n= 1∞ ⁡yn を求めよ.
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自然教育・技術教育系は必須,
情報教育系は【3】か【4】から1題選択
【3】 行列 A= (2 -1 10 ) ,E= (1 0 01 ) とするとき,次の問いに答えよ.
(1) A2- 2⁢A を計算せよ.
(2) A3= a3⁢ A+b3 ⁢E を満たす整数 a3 , b3 を求めよ.
(3) 任意の自然数 n に対し
An= an⁢ A+bn ⁢E
を満たす整数 an , bn を n を用いて表せ.
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【3】か【4】から1題選択
【4】 2 次方程式 x2 -2= 0 の正の解 2 の有理数による近似値を 2 分法で求めるために次のように数列 { an } を定義する.
a1= 1 とする.
自然数 n に対し an から a n+1 を
によって定める.
(1) a6 の値を求めよ.
(2) すべての自然数 n に対し,不等式
|an -2 |< 12n -1
が成立することを証明せよ.