2000　東京大学　前期MathJax

【１】　図のように底面の半径$1\text{，}$上面の半径$1-x\text{，}$高さ$4x$の直円すい台$A$と，底面の半径$1-{\displaystyle \frac{x}{2}}\text{，}$上面の半径${\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$高さ$1-x$の直円すい台$B$がある．ただし，$0\leqq x\leqq 1$である．$A$と$B$の体積の和を$V(x)$とするとき，$V(x)$の最大値を求めよ．

【２】　$xy$平面内の領域

$-1\leqq x\leqq 1\text{，}-1\leqq y\leqq 1$

において

$1-ax-by-axy$

の最小値が正となるような定数$a\text{，}b$を座標とする点$(a,b)$の範囲を図示せよ．

【３】　正四面体の各頂点を${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}{\mathrm{A}}_3\text{，}{\mathrm{A}}_4$とする．ある頂点にいる動点$\mathrm{X}$は，同じ頂点にとどまることなく，$1$秒ごとに他の$3$つの頂点に同じ確率で移動する．$\mathrm{X}$が${\mathrm{A}}_i$に$n$秒後に存在する確率を$P_i(n)\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$で表す．

$P_1(0)={\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}{P}_2(0)={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{P}_3(0)={\displaystyle \frac{1}{8}}\text{，}{P}_4(0)={\displaystyle \frac{1}{8}}$

とするとき，$P_1(n)$と$P_2(n)\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を求めよ．

【４】　複素数平面上の原点以外の相異なる$2$点$\mathrm{P}(\alpha )\text{，}\mathrm{Q}(\beta )$を考える．$\mathrm{P}(\alpha )\text{，}\mathrm{Q}(\beta )$を通る直線を$l\text{，}$原点から$l$に引いた垂線と$l$の交点を$\mathrm{R}(w)$とする．ただし，複素数$\gamma$が表す点$\mathrm{C}$を$\mathrm{C}(\gamma )$とかく．このとき，

「$w=\alpha \beta$であるための必要十分条件は，$\mathrm{P}(\alpha )\text{，}\mathrm{Q}(\beta )$が中心$\mathrm{A}\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\text{，}$半径${\displaystyle \frac{1}{2}}$の円周上にあることである．」

を示せ．

【１】　$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{BC}=2$の直角二等辺三角形$\mathrm{ABC}$の各辺に接し，ひとつの軸が辺$\mathrm{BC}$に平行な楕円の面積の最大値を求めよ．

【３】　$a>0$とする．正の整数$n$に対して，区間$0\leqq x\leqq a$を$n$等分する点の集合

$\{0,{\displaystyle \frac{a}{n}},\cdots ,{\displaystyle \frac{n-1}{n}}a,a\}$

の上で定義された関数$f_n\left(x\right)$があり，次の方程式を満たす．

$\{\begin{array}{l}{f}_n\left(0\right)=c\text{，}\\ {\displaystyle \frac{f_n((k+1)h)-f_n(kh)}{h}}=\{1-f_n(kh)\}{f}_n((k+1)h)\\ \text{（}k=0\text{，}1\text{，}\cdots \text{，}n-1\text{）}\end{array}$

ただし，$h={\displaystyle \frac{a}{n}}\text{，}c>0$である．

　このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$p_k={\displaystyle \frac{1}{f_n(kh)}}\text{（}k=0\text{，}1\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$とおいて$p_k$を求めよ．

(2)　$g(a)=\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(a)$とおく．$g(a)$を求めよ．

(3)　$c=2\text{，}1\text{，}{\displaystyle \frac{1}{4}}$それぞれの場合について，$y=g(x)$の$x>0$でのグラフをかけ．

【４】　座標平面上を運動する$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$があり，時刻$t$における座標が次で与えられている．

• $\mathrm{P}:x=\cos t\text{，}y=\sin t$
• $\mathrm{Q}:x=1-vt\text{，}y={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$
• $\mathrm{R}:x=1-vt\text{，}y=1$

ただし，$v$は正の定数である．この運動において，以下のそれぞれの場合に$v$のとりうる値の範囲を求めよ．

(1)　点$\mathrm{P}$と線分$\mathrm{QR}$が時刻$0$から$2\pi$までの間ではぶつからない．

(2)　点$\mathrm{P}$と線分$\mathrm{QR}$がただ一度だけぶつかる．

【５】　次の条件を満たす正の整数全体の集合を$\mathrm{S}$とおく．

「各けたの数字はたがいに異なり，どの$2$つのけたの数字の和も$9$にならない．」

ただし，$\mathrm{S}$の要素は$10$進法で表す．また，$1$けたの正の整数は$\mathrm{S}$に含まれるとする．

　このとき次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{S}$の要素でちょうど$4$けたのものは何個あるか．

(2)　小さい方から数えて$2000$番目の$\mathrm{S}$の要素を求めよ．

【６】(1)　$a\text{，}b\text{，}c$を正の実数とするとき，

$\left(\begin{array}{ccc}1& a& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& b\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& c& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& x\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& y& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& z\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

を満たす実数$x\text{，}y\text{，}z$を$a\text{，}b\text{，}c$で表せ．

(2)　$a\text{，}b\text{，}c$が$1\leqq a\leqq 2\text{，}1\leqq b\leqq 2\text{，}1\leqq c\leqq 2$の範囲を動くとき，(1)の$x\text{，}y\text{，}z$を座標とする点$(x,y,z)$が描く立体を$K$とする．立体$K$を平面$y=t$で切った切り口の面積を求めよ．

(3)　この立体$K$の体積を求めよ．